r dl = ?
r ∂ r 1 ∂ r ∂ ∇ = ar + aϕ + az ∂r r ∂ϕ ∂z
8
d ⇒∇ dl
球坐标系： r r r r dl = aR dR + aθ ( R ⋅ dθ ) + aϕ ( R ⋅ sin θ ⋅ dϕ )
r dl = ?
r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ∇ = aR + aθ + aϕ ∂R R ∂θ R ⋅ sin θ ∂ϕ
三度、三定理
1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度 散度、高斯定理 旋度、斯托克斯定理 3. 矢量的环流、旋度 4. 亥姆霍兹定理
——“三度”、“三定理”
1
1. 标量场、梯度
标量场在空间的分布和变化规律 ——等值面，方向导数，梯度
等值面
标量场可以用一个标量函数表示： v u = u ( x, y , z ) = u ( r ) 等值面?
20
不同坐标系下散度的表示
直角坐标系中：
r ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇• A = + + ∂x ∂y ∂z
r 1 ∂ 1 ∂Aϕ ∂Az 柱面坐标系中： ∇ • A = ⋅ ( r ⋅ Ar ) + ⋅ + r ∂r r ∂ϕ ∂z
球坐标系中： r 1 ∂ ∂Aϕ 1 ∂ 1 2 ∇• A = 2 ⋅ ( R ⋅ AR ) + ⋅ ( Aθ ⋅ sin θ ) + ⋅ R ∂R R ⋅ sin θ ∂θ R ⋅ sin θ ∂ϕ
r E = −∇V = ?
∇=?
11
例题
v v v 距离矢量 R = r − r ′ ，求标量场
1 1 的梯度 ∇ ( ) R R
12
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x′, y′, z ′) ( x, y , z )
源点 r'
R
r
场点
O
13
例题
v v v 1 1 距离矢量 R = r − r ′ ，求标量场 R 的梯度 ∇( )
33
小结： 谈谈梯度、散度和旋度
• 梯度：描述标量场，自身是矢量 • 散度：描述矢量场，自身是标量标量
– 描述矢量场的分量沿其自身方向的变化 – 表征场的发散特性
• 旋度：描述矢量场，自身是矢量 - 描述矢量场的分量沿与其垂直方向的变化 - 表征场的旋转特性
34
4.亥姆霍兹定理(公理)
两个恒等式(可逆)
35
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度 和边界条件唯一的确定，矢量场F可以表示成一个无源场 和一个无旋场之和
r r r F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散
r ＝ − ∇U ＋∇ × A
36
r r r F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
21
散度的物理意义
1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的 函数 2.散度代表矢量场的通量源的分布特性
r ∇• A = ρ = 0
无源(无散)
r ∇• A = ρ > 0
有源
r ∇• A = ρ < 0
有洞
22
高斯定理
散度定义
r r ⎛ A • ds ⎞ ⎟ r lim ⎜ ∫ divA = ⎜S ⎟ ∆V → 0 ⎜ ∆V ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
v v 数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
通量(Flux) v v v v Φ = ∫ A ⋅ dS = A ⋅ en dS = ∫ A cos θdS
s s
有向曲面：开表面， 右螺旋 闭合曲面，外法线
17
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
Φ>0
Φ<0
Φ=0
正源
负源
无源
18
散度
通量 描述整个体积“流量”的情况，
25
例题（答案1200 π )
V
r 2π 4 5 2 ∫ (∇ • A)dv = ∫ (3r + 2)rdrdϕdz ∫ dϕ ∫ dz ∫ (3r + 2r )dr
V
0 0 0
= 8π ⋅ ( r 3 + r 2 ) |5 = 1200π 0
∫
S
r r A • ds =
∫
侧面
r r A • ds +
例题
已知： V = V ( R,θ ) = V0 ⋅ R ⋅ cosθ r 令： E = −∇V 求：
r E =?
直接法——球坐标系梯度公式！ ——球坐标系梯度公式！
r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ∇ = aR + aθ + aϕ ∂R R ∂θ R ⋅ sin θ ∂ϕ v r r E = −∇V = −eRV0 cos θ + eθ V0 sin θ
ex v ∂ ∇× A = ∂x Ax ey ∂ ∂y Ay ez ∂ ∂z Az30来自柱、球坐标系旋度 柱坐标系
v er v 1 ∂ ∇× A = r ∂r Ar v reϕ ∂ ∂ϕ rAϕ v ez ∂ ∂z Az
球坐标系
v eR v 1 ∂ ∇× A = 2 R sin θ ∂R AR
v Reθ ∂ ∂θ RAθ
R
∇u = ? v ∂u v ∂u v ∂u ∇ u = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
v v v R = r −r′ = ex (x − x′) +ey (y − y′) +ez (z − z′)
v v R0 1 R ∇( ) = − 3 = − 2 R R R
v v v v R0 是 R = r − r ′ 单位矢量
场中某一点附近的“流量”？
定义：单位体积的净流出的通量，称为散度
r r ⎛ A • ds ⎞ ⎟ r lim ⎜ ∫ ⎜S ⎟ divA = ∆V → 0 ⎜ ∆V ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ r r divA = ∇ • A
19
直角坐标系中散度表达式
r ∂Ax ∂Ay ∂A divA = + + z ∂x ∂y ∂z v ∂ v ∂ v ∂ v v v = ( ex + ey + ez ) ⋅ (ex Ax + e y Ay + ez Az ) ∂x ∂y ∂z v = ∇⋅ A
∂x v v = G ⋅ l0 ∂l
v ∂u |max = G ∂l
v v ∂u v ∂u v ∂u gradu = G = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
4
标量的“梯度”
方向导数中沿那个方向 标量函数对距离的 变化率最大？
Gradient——grad Gradient—— ——grad
v R sin θ eϕ ∂ ∂ϕ R sin θ Aϕ
31
斯托克斯定理 ——Stokes’s Law
r r r r ∫ (∇ × A) • dS = ∫ A • dl
S C
矢量场旋度在以曲线C为周界的曲面的面积分 ＝该矢量沿包围该曲面的封闭曲线的线积分
32
微分算子及恒等式
∇ × ∇u ≡ 0 uv ∇ • (∇ × F ) ≡ 0 2 2 2 ∂u ∂u ∂u 2 ∇ • ∇u = 2 + 2 + 2 = ∇ u ∂x ∂y ∂z uv uv uv 2 ∇ F = ∇(∇ • F ) − ∇ × ∇ × F
14
特例
1 ∇( ) , R
1 ∇( ) R =
1 ∇′( ) ? R
1 − ∇′( ) R
15
2.矢量的通量和散度
矢量线-----线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小
v v F × dl = 0
16
2.矢量的通量和散度
矢量在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。
r r rotA = ∇ × A
∫ lim ⎜ C ⎜ ∆S → 0 ⎜ ∆S ⎜ ⎝
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
n0 A
M
29
不同坐标系中旋度表示式 直角坐标系
v ∂ v ∂ v v ∂ ∂ ∂ ∂ rotA = ex ( Az − Ay ) + ey ( Ax − Az ) + ez ( Ay − Ax ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y v =∇× A v v v
含义：单位体积的净流出通量 那么：
r r divA = ∇ • A
23
V
r r r ∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
S
高斯定理 ——Gauss’s Law
V
r r r ∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
S
矢量场散度的体积分 ＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量
24
例题（答案1200 π )
r ez
∆z
∆l
v v l : l 0 (cos α , cos β , cos γ )
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
o x
r ex
∆x
r ey
∆y
∂u ∂l
M0
u( M ) − u( M 0 ) = lim ∆l → 0 ∆l
∂y ∂z
y ∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ
∫
上表面
r A
r • ds +
∫
下表面
r A
r • ds
= r 2 ∗ 2 π r * 4 | r = 5 + 2 z ∗ π * 25 | z = 4 + 0 = 1200 π