重庆实验外国语学校2016—2017学年度下期第三次诊断性测试数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴为x ＝－b2a．一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在实数52、－3、0、2中，最大的实数是（ ）A ．－ 3B ．0C ．52 D ． 22．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．计算（a 3b 2）3的结果是（ ）A ．a 6b 9B ．a 6b 5C ．a 9b 6D ．a 6b 6 4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．对重庆市初三学生身高的调查 B ．对国产大客机C919首飞前各部件的检查 C ．全国范围内群众对比特币病毒了解情况的调查 D ．对重庆市市民对家庭消防安全知识了解情况的调查 5．估计12+3的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和86．若x =－1是一元二次方程x 2－x+b=0的一个根，则b 的值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．4 7．函数y=x+3x中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3且x ≠0 B ．x ≥3 C ．x ≠0 D ．x ≠38．若△ABC 与△DEF 相似且面积比为1∶16，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶16 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶29．如图，在等边△ABC 中，O 为BC 中点，以O 为圆心画弧DE ，弧DE 分别与AB 、AC 相切于点D 、E ，若AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．23－2πB ．83－πC ．43－πD ．43－2π10．下图是由一些长度相等的小木棍组成的树状图形．图（1）（2）（3）需要的小木棍数量分别为3根、7 根、15根，按照这种方式摆下去，第（5）个图形需要的木棍数量为（ ）根．A ．31B ．45C ．60D ．6311．如图是重庆某轻轨站入口扶梯建设示意图，起初工程师计划修建一段坡度为3∶2的扶梯AB ，扶梯总长为1513米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案为修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度．其中扶梯AC 和平台CD 形成的∠ACD 为135o ，从E 点看D 点的仰角为36.5o ，AC 段扶梯长为30米，则DE 段扶梯大约长度为（ ）米（结果精确到0.1）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin36.5o ≈35，cos36.5o ≈45，tan36.5o ≈34）A ．38.6B ．39.8C ．40.2D ．40.712．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧15（3x －2）>2a －x>0无解，且关于x 的分式方程1－ax x －4+1=1x －4有整数解，则满足条件的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上．13．据了解，2016年重庆市报名参加中考联招考试的考生约为302000人，将302000用科学计数法表示为 ．14．计算：（－13）－2+25+（π－16）0= ．15．如图，AB 是⊙O 的直径,，点C 、D 在⊙O 上，连接AD 、CD 、OC ．若∠COB=120o ，则∠ADC=．16．小王同学调查了班上10名同学周末玩手机的时间，调查结果被制成如下统计图，那么这10名同学周末玩手机时间的平均数为 小时．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19．如图，AB ∥CD ，EF=EG ，EG 平分∠HEB ，且∠G=20o ，求∠GFD 的度数．（8分）20．2017年4月22日至23日，九龙坡区华岩“壁虎王”国家攀岩示范公园内，国际攀联举行了世界杯攀岩赛．九龙坡区政府特邀请重庆实验外国语学校的学生担任比赛的志愿者，志愿者将分为比赛组、场地组、礼仪组和签到组四个组．某老师根据志愿者分组情况绘制成了下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）礼仪组所占的百分比是_________，请将折线统计图补充完整；（2分）（2）由于赛势激烈，现需增援两名新志愿者，请用列表法或画树状图的方法求出这两名新志愿者分配到同一组的概率．（6分）志愿者分组的扇形统计图20%志愿者分组的折线统计图签场地礼仪赛场地签到礼仪比赛四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 21．计算：（5分/题，共10分） （1）（x+2y ）（x －2y ）－x （x －1）；（2）（x －1－x 2x －1）÷4x 2－4x+11－x ．22．如图，一次函数y=mx+n （m ≠0）的图象与反比例函数y=kx （k ≠0）的图象交于第一、三象限内的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，过点A 作AM ⊥x 轴于M ．连接OA ，若sin ∠OAM=255，OM=4，点B 的坐标为（a ，－4）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（5分）（2）点E 为y 轴正半轴上的一点，且OD=13ED ，连接AE 、BE ，求△ABE 的面积．（5分）23．近年来，随着人们健康意识的提高，越来越多的人开始参与马拉松运动．跑步爱好者老李为参加一年一度的重庆国际马拉松比赛积极地准备着，他每周都会按计划进行轻松跑和速度耐力跑练习．（1）二月的第一周，老李跑步总路程为48000米，其中轻松跑的路程至少为速度耐力跑路程的两倍，则老李二月第一周轻松跑的路程最少为多少米？（4分）（2）在（1）中轻松跑路程最小的情况下，老李轻松跑的速度为每分钟160米，速度耐力跑的速度为每分钟200米．经过一个月的刻苦训练后，老李三月第一周的轻松跑时间比二月第一周增加了2a%，速度降低了5a 8%；速度耐力跑的时间减少了5a4%，速度提高了2a%．结果，三月第一周的跑步总路程比二月第一周的跑步总路程增加了10%，求a 的值（a<30）．（6分）24．已知一个大于1的正整数t 可以分解成t=ac+b 2的形式（其中a≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在t 的所有表示结果中，当（bc －ba ）取得最小时，称“ac+b 2”是t 的“等比中项分解”，此时规定：P （t ）=b+c 2（a+b ）．例如：7=1×6+12=2×3+12=1×3+22，1×6－1×1>2×3－2×1>1×3－1×2， 所以2×3+12是7的“等比中项分解”，P （7）=23.（1）若一个正整数q=m 2+n 2，其中m 、n 为正整数，则称q 为“伪完全平方数”，证明：任意一个“伪完全平方数”q 都有P （q ）=12；（4分）（2）若一个两位数s=10x+y （1≤y≤x≤5，且x ，y 均为自然数），交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的数s 为“幸福数”，求所有“幸福数”的P （s ）的最大值. （6分）五、解答题：（本大题2个小题，25题10分，26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 25．如图△ABC ，以AC 为斜边向下作等腰直角△ADC ，直角边AD 交BC 于点E ．（1）如图1，若∠ACB=30°，∠B=45°，BC=2+23，求线段DC 的长；（4分）（2）如图2，若等腰Rt △ADC 的直角顶点D 恰好落在线段BC 的垂直平分线上，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接DF ，求证：AB=2AF ．（6分）26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=－510x 2+32x+25与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ，E 为BC 中点，连接AE ．（1）判断△ACE 的形状；（3分）（2）如图2，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCE 面积最大时，将△OAC 沿直线BC 进行平移，平移后点O、A、C的对应点分别为点O′、A′、C′．连接A′P、A′B、PB，当△PA′B周长最小时，求此时点A′的坐标及△PA′B周长的最小值；（5分）（3）如图3，在线段AC上找一点F，连接EF，将△CFE 沿EF翻折，使点C和点O恰好重合．此时将△OEF绕点O旋转，旋转后点E、F的对应点分别为点E′、F′，在旋转过程中直线E′F′与y轴交于点M，与线段BC交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，求CM的长度．（4分）重庆实验外国语学校2016—2017学年度初三下期第三次诊断性测试数学试卷（参考答案）一、选择题：1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：13．3.02×105 14．15 15．30o 16．5.4 17．0.75 18．1825附：18题提示：连接FD ，作FP ⊥CG 于P ，由AB=6，ED=5AE ，可知AE=3，DE=35，易知△ADE ≌△BAF ≌△CFD ，可知∠FDC=∠ADE ，易知D 、G 、F 、C 四点共圆，得∠FDC=∠FGC ，从而易知CD=CG ，易知CF=3，DF=35，易算得GF=955，DG=1255，GH=125，HQ=65，FP=95，则△GHF′与△DCH 重叠部分面积是S △GHF －S △GHQ =12×125×95－12×125×65=1825．三、解答题19．证明：∵EF=EG ，∴∠EFG=∠G=20o ，∴∠HEG=∠G+∠EFG=40o ， ∵EG 平分∠HEB ，∴∠HEB=2∠HEG=80o ， ∵AB ∥CD ，∴∠HEB=∠HFD=80o ，∴∠GFD=∠HFD －∠EFG=60o ． 20．解：（1）15%， 补图如下：16；（2）设比赛组、场地组、礼仪组和签到组四个组分别为a ，b ，c ，d ，画树状图如下：∴共有16种情况，其中在同一组的情况有4种，∴P （两名志愿者分到同一组）=416=14．四、解答题：21．（1）解：原式=x －4y 2；（2）原式=11－2x ．22．解：（1）由题 sin ∠OAM=255=4AO ，则AO=25，由勾股定理得AM=2，及A （4，2）， ∴反比例函数解析式为y=8x，则B （－4，－2），∴一次函数解析式为y=x －2； （2）由（1）D （0，－2），则ED=3OD=6， ∴S △ABE =S △DBE +S △DAE =18．23．解（1）设轻松跑路程x 米，则有：x ≥2（48000－x ），解得：x ≥32000， ∴轻松跑的路程最小为32000米（2）由题意有：200（1+a%）×160（1－5a 8%）+80（1－5a4%）×200（1+a%）=48000×（1+10%）解得：a 1=10，a 2=60（>30，不符合题意，舍去），∴a=10． 24．解：（1）∵a≤c ，a ，b ，c 均为正整数， ∴当a=c 时，bc －ba 取得最小值0， ∴q=m 2+n 2的“等比中项分解”为m×m+n 2或n×n+ m 2， 显然两种情况下均有：P （q ）=m+n 2（m+n ）=12；（2）由题意得：若s 为“幸福数”则有：2（10y+x ）+14（10x+y ）=8k+4（k 为正整数） ∴k=17x+4y+3x+y+24， ∵1≤y≤x≤5，∴6≤3x+y+2≤22， ∴3x+y+2=8或12或16或20， ∵x ，y 均为自然数，1≤y≤x≤5，∴⎩⎨⎧x=3y=1，⎩⎨⎧x=4y=2，⎩⎨⎧x=5y=3， ∴s=31或42或53，①当s=31时，显然31=5×6+12为“等比中项分解”，此时P （31）=1+62×（5+1）=712；②当s=42时，显然42=2×3+62为“等比中项分解”，此时P （31）=6+32×（2+6）=916；③当s=53时，显然53=7×7+22为“等比中项分解”，此时P （31）=7+22×（2+7）=12．∵712>916>12，∴P （s ）的最大值为712． 五、解答题：25．解（1）过点A 作AM ⊥BC 于M ， ∵∠ACB=30°，∠B=45°，∴AM=BM ，AC=2AM ，CM=3AM ， ∴BC=BM+CM=AM+3AM=2+23， ∴AM=2，∴AC=4，∵△ADC 是等腰直角△，且AC 为斜边，∴CD=22；（2）连接BD ，过点D 作DN ⊥BC 于N ，则由已知得DN 重直平分BC ， ∴BD=CD ，∴∠DCB=∠DBC ，∵△ADC 是等腰直角△，∴AD=CD ， ∴BD=AD ，∴∠DAB=∠DBA ，∵∠AFC=∠ADC=90o ，∴易得∠DCB=∠DAF ， ∴∠DAF=∠DBC ， ∴∠ABF=∠BAF ，∵AF ⊥BC ，∴△ABF 是等腰直角△，∴AB=2AF ．另法：易得A ，F ，D ，C 四点共圆，再证△BDF ≌△ADF 即可．26．解：（1）A （－5，0），B （45，0），C （0，25），E （25，5），∴易得△AOC ∽△COB ，∴∠ACB=90o ，又∵易知AC=CE=5， ∴△ACE 为等腰Rt △；（2）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，易知l BC ：y=－12x+25，设P （m ，－510m 2+32m+25），则H （m ，－12m+25）， ∴S △PCE =12PH×（x E －x C ）=12[（－510m 2+32m+25）]－（－12m+25）]×25=－12m 2+25m ，∴当P （25，35）时，△PCE 面积最小．由题易得l AA′：y=－12x －52，作B 关于AA″的对称点B′（25，－45）．则有A′B=A′B′，∴C △PA′B =PB+PA′+A′B= PB+PA′+A′B′，∴当P 、A′、B′三点共线时，△PA ′B 周长最小， ∴x A′=x P =x B′=25，∴A′（25，－325），此时C △PA′B 最小=PB+PB′=65+75；（3）CM=25－52，25+52，345，1345．第11 页，共6页。