2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题(1) lim Xln(1 x)X 01 COSX -----------------(2 )微分方程y y(1 x)的通解是__________________ .X(3)设是锥面z x2—y2( 0 z 1)的下侧，贝U xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy(4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z =(5 )设矩阵A E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E ,贝U B(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P max{X,Y} 1 = ______________、选择题(7)设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0 ,x为自变量x在x0处的增量, y与dy(A) 0 dx y. (B) 0 y dy(C)y dy 0. (D)dy y 0104d 0f(rcos，rsin )rdr等于(A) 02dx x f (X, y)dy.(B) 0勺x°1x2f(x,y)dy.(C) 0「y1y2f(x,y)dx. (C) ^dy J 7 f(x, y)dx. 【】(9)若级数a n收敛，则级数n 1(A) a n收敛.n 1(C) a n a n 1收敛. (B) ( 1)n a n收敛.n 1(D) 3n 3n 1收敛. 【】分别为f(x)在点X。
处对应的增量与微分，若x 0，则(8)设f(x, y)为连续函数，则(10)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且y (x, y) 0 •已知(x 0, y 0)是f (x, y)在约束条件(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 0，则 f y (x 0, y 0) 0 0，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 0(A) 若a !, a 2,L , a,线性相关，则 (B) 若a !, a ?丄，a,线性相关，则 (C) 若印，玄2丄，a,线性无关，则(A ) P(A B) P(A). (B )P(A B)P(B). (C ) P(A B) P(A).(D )P(A B)P(B). 【】14 )设随机变量X 服从正态分布N( 1, 212) ， Y 服从正态分布N( 2, 2)，且P{| X1| 1} P{| Y 2| 1},(A ) 1 2.(B ) 1 2.( C )12.(D )1 2.【 】(12 )设A 为3 阶矩阵，将A 的第 2 行加到第 1 行得B ，再将B 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得C ，记1 10P0 1 0 ，则0 01(A ) CP 1AP.(B ) C PAP 1.(C )C P T AP . (D )C PAP T .【】13)设 A, B 为随机事件，且p(B) 0, p(A|B)1， 则必有(D) 若a !, a ?丄，a,线性无关，则】(A) 若 f x (x 。
，y 。
)(B) 若 f x (x 。
，y o )(C) 若 f x (X o , y o )，(11)设a i , a ?丄,a,均为n 维列向量,A 是m n 矩阵，下列选项正确的是Aa 1, Aa 2,L , Aa, 线性相关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性无关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性相关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性无关 •解答题15设区域D= x, y x 2 2 . y 1,x 0 ,计算二重积分I1 xy D1 x2—dxdy . y 16设数列x n满足0 % ,x 1求：（I）证明lim x n存在拼求之•x（n）计算lim X n17 将函数f—展开成xx的幕级数.18 设函数f在0, 内具有二阶导数,且z x2y2满足等式2-z 0. y）验证f 0.0, f 1 1,求函数f u的表达式.19设在上半平面D= x, y y 0内，数f x, y 是有连续偏导数，且对任意的t>0都有f tx,ty t2f x,y .证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有Lyf (x, y)dx xf (x, y)dy 0.20已知非齐次线性方程组x j x2 x3 x4 14x1 3x2 5x3 x41有3个线性无关的解ax-! x2 3x3 bx4 1I证明方程组系数矩阵A的秩r A 2n求a,b的值及方程组的通解21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量1T1,2, 1 , 2 T0, 1,1是线性方程组A x =0的两个解，（I ）求A的特征值与特征向量（n ）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q T AQ A.-,1x0 21 2f x x — ,0 x 2令y x , F x, y 为二维随机变量(X,Y)的分布函数 40,其他0 x 1X,0 1 1 x 2其中是未知参数0 1 ,0 其它的简单随机样本，记N 为样本值人公2…,焉中小于1的个数，求的最大似然估22随机变量x 的概率密度为(I )求Y 的概率密度f Y y1 (n ) F -,4223设总体X 的概率密度为FX !,X 2…,X n 为来自总体X 计•22006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题6V ( V 为上述圆锥体体积) 6—23而 dydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 01(T 在 1 上：z 1,dz 0)(4)点(2,1,0,)到平面3x 4y 5z 0的距离dd 3 2 4 110J 3242~5^ 750解：由BA=B +2E 化得B (A - E )=2 E ,两边取行列式，得| B || A E |=|2 曰=4, 计算出| A -E |=2,因此| B |=2.(6) 、选择题 (7)设函数yf (x)具有二阶导数，且f (x) 0 , f (x) 0 , x 为自变量x 在x 0处的增量,分别为f (x)在点X 。
处对应的增量与微分•若x 0,则[A](A)0 dy y(B)0 y dy(C) y dy 0(D)dy y 0(1)lim Xln(1 x) x 01 cosx1 2ln(1 x)x,1 cosx x(当 x (2 )微分方程y_x)的通解是 y x一0时)cxe x(x 0)，这是变量可分离方程(3 )设xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy补一个曲面1:2 2x y 1上侧z 1P x, Q 2y,R 3(z 1)P QR12 3 6xyz6dxdydz ( 为锥面 和平面 1所围区域)⑸设A =2 1 [2阶矩阵B 满足BA =B +2E 则I B =y 与dy,22-是锥面z=x y (0 Z 1)的下侧，则1因为f (x) 0,则f (x)严格单调增加f (x) 0,则f (x)是凹的又 x 0,故 0 dy y (8)设f (x, y)为连续函数,则 2(A) of 1 x 2f (x, y)dy x1 f(r COS 0\2(B)2dx,r sin )rdr 等于[C]0 f (x, y)dy2(C) 0〒dy / y f(x,y)dx(D) 02dy厂y 2 0f (x, y)dx(9)若级数 a nn 1收敛,则级数 [D](A) n a n 1 收敛 (B) n 1)na n 收敛 (C) n a n a n 1收敛 1 (D)n (Q a n 1也收敛) n 1 (10)设 f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且 y (x,y) 0,已知(x 0, y 0)是 f(x, y) 在约束条件(x, y) 0下的一个极值点，下列选项正确的是[D] (A)若f x (x o , y o )=o,则f/x o , y o )=o (C)若f x (x o , y o ) o,则f y (x o ,y o )=o 构造格朗日乘子法函数 F x =f x (x,y) F y =f y (X, y) F= (x,y) x (x, y) y(x, y)0 F=f (x, y) 0 (1)0 ⑵(B)若f x (x ，y o )=0,则f y (x o , y o ) 0 (D)若f x (x o , y o ) o,则f y (x o ,y o ) 0 (x, y) 今 y (X o ,y o ) 0,f y(x o ,y o )代入(1)得f x (x o ,y o ) f y (x o,y o) x(x o,y o)y(x o ,y o )y(X o ,y 。
)0,则 f y (x o ,y o )0 故选[D]A 是m n 矩阵，则( A A A A (11)设 1, 2, •• -,s 都是n 维向量，,(A) 若1, 2,…,s 线性相关，则 (B) 若1, 2,…,s 线性相关，则 (C) 若1, 2,…,s 线性无关，则 (D) 若1, 2,…,s 线性无关,则今 f x (x o , y o ) 解：(A)本题考的是线性相关性的判断问题若 1, 2,-1, A i , A i , A i , A 2,…,A 2,…,A2,…,A 2,…,A)成立•线性相关• 线性无关• 线性相关• 线性无关•,可以用定义解•s 线性相关，则存在不全为0的数C 1,C 2,…,c s 使得 C 1 1 + C 2 2+…+C s s = 0,用A 左乘等式两边，得C 1A 1 +C 2A 2 +…+C s A s =0,于是A 1,A 2,…,A s 线性相关•2 -1如果用秩来解，则更加简单明了 •只要熟悉两个基本性质，它们是: 1.1, 2,…,s 线性无关 r( 1, 2,…,s ) = s.2. r( AB ) r( B ). 矩阵(A i , A 2,…,A s )= A (i,2,…,s ),因此r( A i , A 2,…,A s ) r( 1,2,…，s ).由此马上可判断答案应该为 (A).(12)设A 是3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列上得B,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 1 0P = 0 1 0，丿贝 y 0 0 1(A) C =P 1AP (B) C =PAP . (C) C =PAP (D)C =PA P.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出(13)根据乘法公式与加法公式有:P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选Cx 1Y 2(14)依题：1〜N (0,1),2因 P{X 1 1} P{ Y 2。
，所以1 2C =B 0 1 0 =-1 -1BP 1= PAP 1.P{X11}P{ Y21}N(0,1).B =PA ,应选A 三、解答题2 -1x)xyQ 2 2dxdyD 1 x y解:(1)Qx2sinx「0 % 1,因此当X n 1 si nX nX n, X n 又X n0,A sin A, A 0⑵原式=lim(Sin^n)xn,为"1 "型n X nQ离散型不能直接用洛必达法则1 sint、lim _ln( )t 0t2 te t1 1 (tcost si nt) lim g g t 0 2t ^sint m t et2 t3t 1 0(t2) t 0(t3)2 62?（2）(15)设区域D (x, y) x 1,x 0 ,计算二重积分12Xy2dxdy D 1 x y(17)将函数f (x)解f(x)x(2 x)(1 X)x—展开成X的幕极数XA2 xA(1 x) B(2 x) 2, 3A 2, 1, 3B 1,f(x)1(2" (11X)X\(1 p1[1 ( x)]__ 11 x* 2-^-dxdyyJn(1 r2) 0 — In22 x n满足0（16）设数列求（1）证明lim x n存在,并X i ,斗 1 sinx n(n 1,2,L )⑵计算lim（1Xn 1 )X2X n单调减少X n有下界，根据准则1,lim x n A存在,递推公式两边取极限得ntcost sint lim e t0 2t3lim t 0 e1)n(1)n x)(18)设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且 Zf . x y 满足等式2 2zZ c—2 2 0 x y(I )验证 (II )若 f(1)0, f (1) 1求函数f (u)的表达式证：(I )「I.Z f xx 22y -x f ... x 22 2x y2f.x 22yx f,x 22y2 x y22同理zyfx 22yy f ■. x 2x2 2x y2 2代入 zx 2z 2 y得f • x 22 y f (u)f (u)u0成立(II ) 令f (u)p,则 dpp722x22y2yu p22x 2X y一2—2 Qx y2 2x y2 y2 3 2y22 32xy[2.X y)(f ( 2 x____ 0 2 2In p In u c, f (u)duuQ f (1) 1,c 1, f (u) In |u | C 2,由f (1) 0,得C 2 0 于是 f (u) In | u |(19)设在上半平面D (x,y)|y0内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意t 0都有的基础解系中解的个数不少于2,即4-r( A ) 2,从而r( A ) 2.f(tx,ty) t 2f(x,y) 证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L， 都有yf(x, y)dx xf (x, y)dy 0. L 证：把f (tx, ty) t 2 f (x, y)两边对t 求导 得: xf x (tx,ty) yf y (tx,ty) 2tf (x, y) 令 t 1，则 xf x (x, y) yf y (x, y) 2 f (x, y) 再令 P yf (x, y), Q xf (x, y) 所给曲线积分等于 0的充分必要条件为 f(x,y) xf x (x, y)f (x,y) yf y (x,y) Q p要求 成立，只要 xf x (x, y) yf y (x, y) 2 f (x, y) x y我们已经证明, Q p—一，于是结论成立 x y (20)已知非齐次线性方程组 「X 1+X 2+X 3+X 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1， ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解. ① 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解. 解：① 设1,2, 3是方程组的3个线性无关的解，则2- 1,1是AX=Q 的两个线性无关的解.于是AX=Q又因为A的行向量是两两线性无关的，所以r(A) 2.两个不等式说明r( A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换<1 1 1 1 -1 彳1 1 1 -1(A| )= 4 3 5 -1 -1 0 - 1 - 3电1 3 b 1 0 04-2a，4a+b-5 4-2a J由r( A)=2，得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换1<0 2 -4 2 \0 1-1 5 -3 .0® 0 0 0得同解方程组i=2-2x 3+4x4,X 2=-3+X 3-5X4,求出一个特解(2,-3,0,0) T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0) T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解：(2,-3,0,0) T+C1(-2,1,1,0) T+C2(4,-5,0,1) T, C(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.Q T AQ=.解：①条件说明A(1,1,1) T=(3,3,3) T,即。