当前位置:文档之家› 2006—数二真题、标准答案及解析

2006—数二真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 (A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--= (B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16.arcsin xxe dx e ⎰求.17.{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域,221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18.{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限;211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算.19.sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=;(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t ⎧=+≥⎨=-⎩(Ⅰ)讨论L 的凹凸性;(Ⅱ)过点(-1,0)引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (Ⅲ)求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)真题解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== (3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,yyy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C](A )ln31- (B )ln31--(C )ln21--(D )ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=,1(1)12g e+= g (1)= ln21--(10)函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D](A )23xy y y xe '''--= (B )23xy y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令 今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得 16C =(16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥, 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f bf a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+ (III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得由于(2,3)在L上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰3300(102)4y dy y =--⎰3333220002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯- 8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4,x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。

相关主题