课时分层作业(一)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
C[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．]
2．已知集合A由x<1的数构成，则有()
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
C[很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．]
3．下列说法：
①集合N与集合N
是同一个集合；
＋
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的是()
【导学号：60462012】A．②④B．②③
C．①②D．①④
A[因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示
有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确. ] 4．下面几个命题中正确命题的个数是()
①集合N
＋
中最小的数是1；
②若－a∉N
＋，则a∈N
＋
；
③若a∈N
＋，b∈N
＋
，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0B．1
C．2D．3
C[N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．]
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4
C．4 D．0
B[若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A，若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.]
二、填空题
6．用符号∈或∉填空：
【导学号：60462013】
(1)0________N＋；
(2)(－4)2________N＋；
(3)2________Z；
(4)π＋3________Q.
[答案](1)∉(2)∈(3)∉(4)∉
7．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．k≠±1[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1.]
8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.
6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6.] 三、解答题
9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．
[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.
10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？
[解] ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3
x 3所组成的集合，最多含 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素
D ．5个元素
A [由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3
x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．]
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．]
二、填空题
3．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是_______.
【导学号：60462014】
x≠0,1,2，1±5
2[由集合元素互异性可得x≠1，x
2－x≠1，x2－x≠x，解得
x≠0,1,2，1±5 2.]
4．若方程ax2＋x＋1＝0的解构成的集合只有一个元素，则a的值为________．
0或1
4[当a＝0时，原方程为一元一次方程x＋1＝0，满足题意，所求元素
即为方程的根x＝－1；
当a≠0时，由题意知方程ax2＋x＋1＝0只有一个实根，所以Δ＝1－4a＝0，
解得a＝1
4；所以a的值为0或
1
4.]
三、解答题
5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则
1
1－a
∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a ∈A ，则1
1－a ∈A .
又∵2∈A ，∴1
1－2＝－1∈A .
∵－1∈A ，∴11－(－1)＝1
2∈A .
∵12∈A ，∴1
1－12
＝2∈A .
∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，1
2. (2)若A 为单元素集，则a ＝
11－a
，
即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解． ∴a ≠1
1－a
，∴集合A 不可能是单元素集.。