或ϕ([β ,α ]) ⊆ [a,b];
(2)ϕ′ ∈C[α, β ](或ϕ′∈ C[β ,α ])
那么：∫b f (x) d x = ∫ β f [ϕ (t)]ϕ′(t) d t
a
α
1
若f ∈C[−a, a],并且为偶函数，则
∫ a f (x) d x = 2∫ a f (x) d x;
−a
0
若f ∈C[−a, a],并且为奇函数，则
平面的方程
1．点法式方程
过点M 0 (x0 , y0 , z0 )且以n = ( A, B, C)为法向量 的平面Π的方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
2．一般方程
三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B,C不同时为零)的图形是平面,其中 x, y, z的系数A, B,C是平面的法向量的坐标, 即n = ( A, B,C)是平面的法向量. 特殊的平面： A = 0,平行于x轴的平面； B = 0,平行于y轴的平面； C = 0,平行于z轴的平面； D = 0,过原点的平面； A = B = 0,垂直于z轴的平面； B = C = 0,垂直于x轴的平面； C = A = 0,垂直于y轴的平面.
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
1．向量的加法
a+b = b+a
(a +b)+c = a +(b +c)
2．向量与数的乘法（数乘）
λ(µ a) = (λµ )a (λ + µ)a = λa + µa λ(a + b) = λa + λb
方向角与方向余弦
方向余弦 : cosα = ax , cos β = ay , cosγ = az
a ×b与一切既平行于a又平行于b的平面垂直.
向量的混合积
平面的夹角
cosθ = n1 ⋅ n2 =
| A1A2 + B1B2 + C1C2 |
| n1 || n2 |
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
3
同济二版 微积分(下)
平面Π1和Π 2
直线L1与L2的方向向量分别是
同时满足Π1与Π 2的方程,的下面的直线方程:

A1x
+
B1 y
+
C1z
+
D1
=
0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
其中 A1 = B1 = C1 不成立. A2 B2 C2
两直线的夹角
旋转曲面 若在曲线C的方程f ( y, z) = 0中z保持不变而
将y改写成 ± x2 + y2 , 就得到曲线C绕z轴
a⋅b = b⋅a
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c (λa) ⋅ (µb) = λµ(a ⋅b)
4．单位向量
ea = a |a|
空间两点间的距离公式 | P1P2 |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
同济二版 微积分(下)
以点M1(x1, y1, z1)为起点, M 2 (x2 , y2 , z2 )为终点 的坐标
M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
∫a f (x)d x = 0 −a
π
π
∫ 2 f (sin x) d x = ∫ 2 f (cos x) d x
= ay by
ax = bx
cx
az bz
cx
+
az bz
ay az by bz cy cz
ax bx
cy
+
ax bx
ay by
cz
(ii)a × b同时垂直于a和b,并且a,b, a × b符合 右手法则.
[abc] = [bca] = [cab] 三向量a,b, c共面的充要条件是
a ×b = −b × a
∫ ∫ f [ϕ (x)]ϕ′(x) d x = f (u) d uu=ϕ(x) ∫ f (x) d x = [ f [φ (t)]φ ′(t) d t ]t=φ−1(x)
积分公式
∫ dx
a2 + x2
=
1 a
arctan
x a
+C
∫ d x = arcsin x + C
a2 − x2
a
∫ d x = 1 arcsin bx + C(a > 0,b > 0)
m1 = n1 = p1 m2 n2 p2
直线的方程
1． 参数方程
过M 0 (x0, y0 , z0 )且以s = (m, n, p)为方向向量 的直线L的方程为
x
=
x0
+
tm

y z
= =
y0 z0
+ tn + tp
.
2． 对称式方程（点向式方程）
过M 0 (x0, y0 , z0 )且以s = (m, n, p)为方向向量 的直线L的方程为
基本积分表
∫ k d x = kx + C(k = 1时, ∫ d x = x + C)
∫ xµ d x = xµ+1 + C
µ +1
∫ 1 d x = ln | x | +C
x
∫
1 1+ x2
d
x
=
arctan
x
+
C
∫ 1 d x = arcsin x + C
1− x2
∫ cos x d x = sin x + C
= ay az i + az ax j + ax ay k
by bz bz bx
bx by
i jk = ax ay az
bx by bz
两向量的向量积的几何意义 (i)a × b的模: 由于 | a × b |=| a || b | sinθ =| a | h(h =| b | sinθ ), 所以 | a × b | 表示以a和b为邻边的平行四边 形的面积. (ii)a × b的方向:
∫ sin x d x = − cos x + C
∫
1 cos2
x
d
x
=
∫
sec2
x
d
x
=
tan
x
+
C
∫
1 sin 2
x
d
x
=
∫
csc2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
∫ sec x tan x d x = sec x + C
∫ csc x cot x d x = − csc x + C ∫ex d x = ex + C
0
0
∫ ∫ π xf (sin x) d x = π
π
2 f (sin x) d x
0
0
π
π
∫ ∫ 2 sinn x d x = 2 cosn x d x
0
0
定积分的分部积分法
∫ ∫ b a
uv′
d
x
=
[uv]ba
−
b vu′ d x
a
∫ ∫ b a
u
d
v
=
[uv]ba
−
b
vdu
a
m = 1, 2, 3,⋯
| s1 || s2 |
m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22
直线L1和L2
点到平面的距离 点P0 (x0, y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0 的距离为:d = | Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B2 + C 2
相互垂直的充要条件是: m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 相互平行的充要条件是:
向量的坐标表示
向量a与b的夹角满足公式
cosθ = a ⋅b (其中0 ≤ θ ≤ π ) | a || b |
若a = (ax , ay , az ),b = (bx , by , bz ),则
cosθ =
axbx + ayby + azbz
ax2
+
a
2 y
+
az2
⋅
bx2 + by2 + bz2
直线L和平面Π 相互垂直的充要条件是:
A= B =C; mn p 相互平行的充要条件是: Am + Bn + Cp = 0.
3． 一般方程
直线L可以看作两个平面
Π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0与 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0的交线.空间一点 M (x, y, z)在直线L上,当且仅当它的坐标x, y, z
∫ ax d x = ax + C(a > 0, a ≠ 1) ln a
∫ sinh x d x = cosh x + C