微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）

一、基本导数公式

⑴0c ⑵1xx ⑶sincosxx

⑷cossinxx ⑸2tansecxx ⑹2cotcscxx

⑺secsectanxxx ⑻csccsccotxxx

⑼xxee ⑽lnxxaaa ⑾1lnxx

⑿1loglnxaxa ⒀21arcsin1xx ⒁21arccos1xx

⒂21arctan1xx ⒃21arccot1xx⒄1x⒅12xx

二、导数的四则运算法则

uvuv uvuvuv 2uuvuvvv

三、高阶导数的运算法则

（1）nnnuxvxuxvx （2）nncuxcux

（3）nnnuaxbauaxb （4）()0nnnkkknkuxvxcuxvx

四、基本初等函数的n阶导数公式

（1）!nnxn （2）naxbnaxbeae (3)lnnxxnaaa

(4)sinsin2nnaxbaaxbn(5) coscos2nnaxbaaxbn

(6)11!1nnnnanaxbaxb (7) 11!ln1nnnnanaxbaxb

五、微分公式与微分运算法则 ⑴0dc ⑵1dxxdx ⑶sincosdxxdx

⑷cossindxxdx ⑸2tansecdxxdx ⑹2cotcscdxxdx

⑺secsectandxxxdx ⑻csccsccotdxxxdx

⑼xxdeedx ⑽lnxxdaaadx ⑾1lndxdxx

⑿1loglnxaddxxa ⒀21arcsin1dxdxx ⒁21arccos1dxdxx

⒂21arctan1dxdxx ⒃21arccot1dxdxx

六、微分运算法则

⑴duvdudv ⑵dcucdu

⑶duvvduudv ⑷2uvduudvdvv

七、基本积分公式

⑴kdxkxc ⑵11xxdxc ⑶lndxxcx

⑷lnxxaadxca ⑸xxedxec ⑹cossinxdxxc

⑺sincosxdxxc ⑻221sectancosdxxdxxcx

⑼221csccotsinxdxxcx ⑽21arctan1dxxcx

⑾21arcsin1dxxcx

八、补充积分公式

tanlncosxdxxc cotlnsinxdxxc

seclnsectanxdxxxc csclncsccotxdxxxc

2211arctanxdxcaxaa 2211ln2xadxcxaaxa 221arcsinxdxcaax 22221lndxxxacxa

九、下列常用凑微分公式

积分型 换元公式

1faxbdxfaxbdaxba uaxb

11fxxdxfxdx ux

1lnlnlnfxdxfxdxx lnux

xxxxfeedxfede xue

1lnxxxxfaadxfadaa xua

sincossinsinfxxdxfxdx sinux

cossincoscosfxxdxfxdx cosux

2tansectantanfxxdxfxdx tanux

2cotcsccotcotfxxdxfxdx cotux

21arctanarcnarcn1fxdxftaxdtaxx

arctanux

21arcsinarcsinarcsin1fxdxfxdxx arcsinux

十、分部积分法公式

⑴形如naxxedx，令nux，axdvedx

形如sinnxxdx令nux，sindvxdx

形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx

⑵形如arctannxxdx，令arctanux，ndvxdx

形如lnnxxdx，令lnux，ndvxdx

⑶形如sinaxexdx，cosaxexdx令,sin,cosaxuexx均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式 (1)22ax sinxat (2) 22ax tanxat (3)22xa secxat

【特殊角的三角函数值】

（1）sin00 （2）1sin62 （3）3sin32 （4）sin12 （5）sin0

（1）cos01 （2）3cos62（3）1cos32 （4）cos02 （5）cos1

（1）tan00 （2）3tan63（3）tan33（4）tan2不存在（5）tan0

（1）cot0不存在 （2）cot36（3）3cot33（4）cot02（5）cot不存在

十二、重要公式

（1）0sinlim1xxx （2）10lim1xxxe （3）lim()1nnaao

（4）lim1nnn （5）limarctan2xx （6）limtan2xarcx

（7）limarccot0xx （8）limarccotxx （9）lim0xxe

（10）limxxe （11）0lim1xxx

（12）00101101lim0nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm

（系数不为0的情况）

十三、下列常用等价无穷小关系（0x）

sinxx tanxx

arcsinxx

arctanxx 211cos2xx

ln1xx 1xex 1lnxaxa 11xx

十四、三角函数公式

1.两角和公式

sin()sincoscossinABABAB sin()sincoscossinABABAB

cos()coscossinsinABABAB cos()coscossinsinABABAB tantantan()1tantanABABAB tantantan()1tantanABABAB cotcot1cot()cotcotABABBA cotcot1cot()cotcotABABBA

2.二倍角公式

sin22sincosAAA 2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA

22tantan21tanAAA

3.半角公式

1cossin22AA 1coscos22AA

1cossintan21cos1cosAAAAA 1cossincot21cos1cosAAAAA

4.和差化积公式

sinsin2sincos22ababab sinsin2cossin22ababab

coscos2coscos22ababab coscos2sinsin22ababab

sintantancoscosababab

5.积化和差公式

1sinsincoscos2ababab 1coscoscoscos2ababab

1sincossinsin2ababab 1cossinsinsin2ababab

6.万能公式

22tan2sin1tan2aaa 221tan2cos1tan2aaa 22tan2tan1tan2aaa

7.平方关系

22sincos1xx 22secn1xtax 22csccot1xx

8.倒数关系

tancot1xx seccos1xx csin1csxx

9.商数关系

sintancosxxx coscotsinxxx

十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：dyfxgydx ， 11220fxgydxfxgydy

2.齐次微分方程：dyyfdxx

3.一阶线性非齐次微分方程：dypxyQxdx 解为： pxdxpxdxyeQxedxc