三角函数专题复习3通过对近年全国试卷的统计，特别是对04，05两年各省二十多套高考试卷的分析，三角函数部分占的比例大约为12%（18分）；除广东04年25分，05年15分波动较大之外，其它省份都比较稳定， 04年除上海、辽宁没有出解答题外其它省份都有一个中抵挡的三角解答题，05年基本保持04年的状况，而考察的热点依次是：化简求值、周期、单调性、最值、求解析式、图象变换、解三角形。

解答问题的基本思想大都是通过恒等变换，将表达式化为一个角一个三角函数的形式，从而使问题得到解决。

一．熟记三角函数在各象限的符号、诱导公式及00060,45,30特殊角的三角函数值（尤其注意不要把0060,30的正余弦值记混），能够借助特殊角的函数值把一个三角函数式化成一个角一个三角函数的形式（课本上有相当多的题目是专门用来强化这个知识点的），这是研究周期、单调区间、最值的切入点。

举例如下 例1 （1）(04辽宁)若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）(04辽宁)已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 分析：（1）本题要求熟练掌握三角函数在各象限的符号及正弦的倍角公式；由⎩⎨⎧<><><<0sin 0cos ,0sin 0cos ,0sin 2,02sin θθθθθθθ即得因即con 因此符合条件的角θ在第四象限，应选D（2）本题考察诱导公式的应用和奇偶性的概念，是基础题，函数可化为1cos )(--=x x f π； 显然是偶函数，且周期为2，选答案B注意本届教材中,只在三角部分出现奇偶性知识点.练习：(04北京)函数f(x)=cos2x －23sinxcosx 的最小正周期是π 。

2、熟练掌握正弦、余弦、正切的和差角公式及正余弦的倍角公式，尤其是余弦倍角公式（根据题目需要，对三角函数式进行降幂和升幂的恒等变换是考察的热点） 例2（1）(04四川)函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π（2）(05浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 分析：（1）求周期的基本思想是化式子为一个角一个三角函数的形式，然后利用课本知识直接求出周期，本题可以直接利用降幂公式来化简，但运算量较大，也可以先化同名提取公因式, 因此原式可化为或,874cos 811)4cos 1(8112sin 411cos sin 1)1(sin sin sin 1sin 2222224+=+--=+-=+-=+-=-+=x x x x x x x x x y Bx x x x x y 选，也化得结果，周期为21cos sin cos )cos 1(sin 22222π+-=+-=（2）本类题的基本思路是把不同角化为同角，不同名化为同名，然后借助二次函数知识。

求最值时注意利用正余弦函数的有界性。

本题应先将倍角化为单角（升幂），还要注意选用公式时尽量同时也化为同名：12)2(cos 2cos 1cos 2222---+=-+-=k k k x k x k x y ，因1cos 1,22,4≤≤--<-<x kk 而，所以当1cos =x 时，函数有最小值1，选A例3已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当练习：1、（05山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则该函数的最小正周期和一个对称中心分别为（ B ）（A ）π2，)0,12(π（B ）π，)0,12(π（C ）π2，)0,6(π（D ）π，)0,6(π2、(04甘肃)函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 43.3、(04重庆)sin163sin 223sin 253sin313+=（ B ）A ．12-B ．12 C ． D 3．熟记正余弦函数和正切函数的图象及性质，会用五点法画正余弦函数图象，这是求单调区间、周期、根据图象写解析式、求对称轴、对称中心的基础，。

例4（1）（05天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y（2）(04天津)函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ） A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ（3）（05全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 （ ） (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π 分析：（1）根据函数 y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象写解析式教材中介绍两种方法（参见章复习小结最后一个例题）：I .(1)由振幅定（即最高点或最低点）A (2)由周期定ω (3)由特殊点定ϕ II ．（1）由振幅定A ，（2）利用五点法画图中的几个特殊点直接定ω、ϕ （1）解法1:由图得振幅A=4，周期T=2（6+2）=16，所以ω=8π，4524300)86sin(,6πϕπϕπϕπ==+=+∙=，值点），（最高点前的时x ，由于题目没有要求A>0,而要求2πϕ<，借助诱导公式可得A=A 选4,4πϕ=- 解法2给出的已知点分别是五点法画图中的第三和第五个点，所以有⎩⎨⎧=+=+-)2(26)1(2 πϕωπϕω 同样可以求出。

（2）．首先用诱导公式化掉x 系数中负号（不然套用正弦曲线单调区间会求出错误结论，属于易错点）；即：),652sin(2π+=x yz k k x k ∈+≤+≤+-,2265222πππππ得根据正弦函数的增区间 并和定义域],0[π取交集得]65,3[ππ，即k 取1时得出答案C. （3）此类加绝对值后求函数周期的题目高考试卷中出现也不少，严格说是借助图象观察出周期，因正弦、余弦函数加绝对值后根据图象可知周期变为原来的一半，但要注意，不是所有加绝对值后得到的函数的周期都变为原函数周期的一半，如正切函数加绝对值后x y tan =，根据图象知周期不变，因此一定要了解所给函数的草图才能下结论，该题可化为 ： f (x ) =)4sin(2π+x ，根据x y sin =周期是π，而f (x )图象可以由x y sin =变换得到，根据变换过程易知周期也是π，选C练习1、（05全国卷Ⅱ）已知函数y =tanx ω 在（2π-，2π）内是减函数，则（ ）（A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1 （解：当0>ω时，根据正切函数的图象性质知，它只有增区间，根据y =tan x ω与正切函数图象的关系（只做了伸缩变换）知，该函数也只有增区间，所以根据题意0<ω，再根据含0的最大单调区间和已知知，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤-<<--∈222222,)2,2(πωππωππωπππ恒成立，得时x x 得01<≤-ω,所以选B ）4．熟记同角三角函数关系，在恒等变换中，先考虑把不同角化同角，其次考虑把不同名化同名，一般情况切化弦，个别情况弦化切（在已知切的值，求三角式值时），1有时用x x 22cos sin +来替换，把未知角用已知角和特殊角来表示，灵活运用和差角与倍角公式；注意相差（或相加）为2π（或π）的角，常可化为同角，总的原则是先化简（常化为一角一函数的形式），后代入求值（04年化简求值小题6个，05年10个）。

例5．（1）．（04广东5）函数22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数 （2）．（05江西卷）已知==ααcos ,32tan则（ ） A ．54 B ．－54C ．154 D ．－53解：（1）注意到角44ππ-+x x 与相差2π，借助诱导公式可化为同角，即xx x x x x y 2sin )22cos()4(sin )4(cos )4(sin )]4(2[cos 2222=-=---=--+-=ππππππ也可以直接用降幂公式，然后再用诱导公式化简，即x x x y 2sin 2)22cos(12)22cos(1=---+-=ππ； 因此答案为B （2）先把未知角2αα用已知角表示，再借助同角三角函数的关系，注意运用余弦与正切的平方关系即：54191212tan 1212cos 2cos 22-=-+=-+=-=ααα ，也可以直接化为（注意1的代换）542tan 12tan 12sin 2cos 2sin 2cos 12sin 2cos cos 22222222-=+-=+-=-=ααααααααα（就是原教材中的万能公式） 例6（本小题满分12分04天津）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。

分析：（1）用配角可以直接计算，即：312111214tan )4tan(14tan)4tan()44tan(tan -=+-=++-+=-+=ππαππαπαπα（2）先化简后代入计算即：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα练习（1）(04理福建2)tan15°+cot15°的值是 （ C ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 .（2）（04广东）当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是AA. 4B. 12C.2D. 145．对给出变量范围的求（最）值题（属于难点，注意运用三角函数的单调性 （基本函数一般不用导数）例7． （06上海春季高考题）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .求函数)(x f 的值域. 2）先借助特殊角，将式子化为一角一函数形式，再利用已知角的范围求出值域即：，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x cos sin 3-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2πx ππ≤≤x 2 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.课后练习1、（04广西14）函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为1 .2、函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于 CA ．－3B ．－2C ．－1D ．－53、（05福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==6．熟练把握三角函数的图象变换，并掌握住逆推的过程，是准确解答这类题的基础 例8. （05天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度分析：解答此类题，首先应把不同名的两个函数化为同名，如果出现x 系数为负(或函数名前面有负号)，还要借助诱导公式化为正，然后再进行变换，该题前一个函数已经最简，所以化后面一个式子即)42cos(2)422cos(2πππ-=--=x x y ，因是先做伸缩变换，所以应将每点的横坐标伸长到原来的2倍（注意，只改变x前的系数而与4π无关），所以变为)4cos(2π-=x y ，再将该函数的图象向左平移4π个单位，即把表达式中的x 换为4π+x ,就得到x y cos 2=的图象，所以选C 。