必修4 第一章 三角函数 复习（一）一、 基本知识1、任意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角 （2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限3、与角α终边相同的角：360 n n Z βα=+⋅∈o4、弧度制和角度制的转化：180 rad π=o5、弧长公式：12l R α=扇形面积公式：212S R lR α==（1）同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+= sin tan cos ααα=（2）三角函数诱导公式：公式一：角度制：sin()sin 360k αα+⋅︒= 弧度制： sin(2)sin k απα+=ααcos )360cos(=︒⋅+k cos(2)cos k απα+= ααtan )360tan(=︒⋅+k tan(2)tan k απα+=公式二：角度制：sin(180sin αα︒+=-）弧度制：sin(sin παα+=-） cos(180cos αα︒+=-） cos(cos παα+=-）ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）公式三： sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=- 公式四：角度制：ααsin 180sin(=-︒） 弧度制：ααπsin sin(=-）cos(180cos αα︒-=-） cos(cos παα-=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-） 公式五：角度制：sin(90)cos αα-=o 弧度制： sin()cos 2παα-=cos(90)sin αα-=o cos()sin 2παα-= 公式六：角度制：sin(90)cos αα+=o 弧度制： sin()cos 2παα+= cos(90)sin αα+=-o cos()sin 2παα+=-8、周期函数：9、正弦函数：y=sinx（1）定义域：R 值域：[-1,1] （2）图象：五点法画图正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)（3）周期性：2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）奇偶性：正弦函数在定义域R 内为奇函数，图象关于原点对称（5）单调性：在［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数；在［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数。
（6）最值：当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－110、余弦函数： y=cosx（1）定义域：R 值域：[-1,1] （2）图象：五点法画图x [0,2]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)（3）周期性：2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）余弦函数在定义域R 内为偶函数，图象关于y 轴对称 （5）单调性：在［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数；在［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数.（6）最值：当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1当x ＝－π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－111.正切函数：x y tan =（1） 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22|ππ（2） 值域：R（3） 单调性: x y tan =在)2,2(ππππk k ++-上为增函数（4） 周期性：周期为πk ；最小正周期为π二，典型例题1. 已知f(α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;（1）化简f(α);（2）若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f(α)的值.2．已知tan α=2,求4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.的值3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.4. 求值：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒5：已知函数23cos sin 3)(2+-=x x xcox x f ϖϖϖ ),(R x R ∈∈ϖ的最小正周期为π且图象关于6π=x 对称；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函数y ＝1－f(x)的图象与直线y ＝a 在]2,0[π上中有一个交点，求实数a 的范围．6：函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为( ) A. y=-4sin )48(ππ-x B. y=-4sin )48(ππ+xC. y=4sin )48(ππ-x D. y=4sin )48(ππ+x三，作业巩固1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252． cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ．6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 23．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ）A ．{x ｜－π3＜x ＜π3}B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z}D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z}4.已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．5．函数y=sin x 2+cos x2在（－2π，2π）内的递增区间是 ．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．二、 解题方法1、找终边相同的角：利用360 n n Z βα=+⋅∈o ，通过取不同的k 值，求得相应范围内的角。
2、给出角的终边的位置求角的集合：先找[0,2]π内的角，再看转多少度就能回到所求的位置。
3、弧度制和角度制转化：（1）弧度化角度：180 rad π=o 15718rad '=o例如：454π=o （把π看作180o ） 41804() rad π⨯=o（2）角度化弧度：例如：60601803ππ==o oo 4、根据三角函数定义求值：（1）已知角度，求其三角函数值：确定角的终边所在位置（在第几象限，与x 轴夹角），再以坐标原点为圆心作单位圆，设单位圆与角的终边交于(,)P x y ，则sin y α=，cos x α=，tan yxα=（2）已知一角终边上一点坐标(,)P x y ，求这个角的三角函数值：求坐标原点O 与P 点的距离r op ==sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=5、判断三角函数值的符号：先把所给的角转化到[0,2]π的范围内，在判断这个角是第几象限角，正弦值看y ，余弦值看x ，正切值：x 和y 是否同号。
6、根据三角函数诱导公式化简、求值、证明： （1）化简：注意题目中是否给出角的范围（2）求值：先把负角化成正角，在把这个正角化成带分数的形式，也就是把这个正角写成“π的整数倍+某一个角”的形式，在利用三角函数诱导公式求解。
（注意在公式中正负号的改变）。
（3）证明：注意1的代换：22sin cos 1αα+= 7、求正、余弦函数的周期：（1）用定义求周期：在sin cos 和后+2π，整理后的形式和原式保持一致，整理后“x+”后的数就是这个函数的周期。
（2）形如sin()y A x ωϕ=+：周期为2πω8、求正、余弦函数的最值：把sin cos 和后的数看成整体，再求相应x 的值。
9、求正、余弦函数的单调区间：把sin cos 和后的数看成整体，再求相应x 的范围。
10、利用正、余弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小：（1）正弦比较大小：把角转化到[,]22ππ-或3[,]22ππ范围内sin y x =在[,]22ππ-上为增函数，在3[,]22ππ为减函数（2）余弦比较大小：把角转化到[,0]π-或[0,]π范围内cos y x =在[,0]π-上为增函数，在[0,]π上为减函数一、 基本知识1、正切函数：x y tan =（5） 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22|ππ（6） 值域：R（7） 单调性: x y tan =在)2,2(ππππk k ++-上为增函数（8） 周期性：周期为πk ；最小正周期为π 2、三角函数图像变换：)sin(ϕω+=x A y 的图象 （1） 振幅：A; 周期：ωπ2=T ；频率：πω21==T f ；相位：ϕω+x ；初相：ϕ （2） 图象变换：)sin(sin ϕ+=→=x y x y ：纵坐标不变，横坐标向左（0>ϕ）或向右)0(<ϕ平移ϕ个单位； )sin()sin(ϕωϕ+=→+=x y x y ：纵坐标不变，横坐标伸长（10<<ω）或缩短（1>ω）到原来的ω1倍； )sin()sin(ϕωϕω+=→+=x A y x y ：横坐标不变，总坐标伸长或所到原来的A 倍。
二、 解题方法：1、求正切函数的单调区间：把“tan ”后的角看成一个整体，设为z ，再求函数的单调区间；2、利用正切函数单调性比较大小：把所给的角转化到)2,2(ππ-内； 3、求正切函数的周期；x x tan )tan(=+π在“tan ”所给角度后+π，整理所得式子，使得每一个“x +”的形式，周期就是所加的那个数； 4、图象变换：左右平移（左加右减）→横向伸缩→纵向伸缩；。