最短路径问题（珍藏版）
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】
【问题
1】
作法
图形
原理
在直线 l 上求一点 P ，使 PA +PB 值最小．
连 AB ，与 l 交点即为 P ．
两点之间线段最短． PA +PB 最小值为 AB ．
【问题 2】“将军饮马” 作法
图形
原理
在直线 l 上求一点 P ，使 PA +PB 值最小．
作 B 关于 l 的对称点 B ＇
连 A B ＇，与 l 交点即为 P ．
两点之间线段最短． PA +PB 最小值为 A B ＇．
【问题 3】
作法 图形
原理
在直线l 1 、l 2 上分别求点 M 、N ，使△PMN 的周长最小．
分别作点 P 关于两直线的
对称点 P ＇和 P ＇，连 P ＇P ＇与两直线交点即为 M ，N ．
，
两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段 P ＇P ＇＇的长．
【问题 4】
作法 图形
原理
在直线l 1 、l 2 上分别求点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周长最小．
分别作点 Q 、P 关于直线 l 1 、l 2 的对称点 Q ＇和 P ＇ 连 Q ＇P ＇，与两直线交点即为 M ，N ．
两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P ＇P ＇＇的长．
n
直线m ∥n ，在m 、n ，
上分别求点M、N，使MN
⊥m ，且AM+MN+BN 的
值最小．
【问题6】图形
l
在直线l上求两点M、N（M
在左），使MN =a ，并使
AM+MN+NB 的值最小．
【问题7】图形
在l1 上求点A，在l2 上求
点B，使PA+AB 值最小．
【问题8】图形
A为l1上一定点，B为l2上
一定点，在l2 上求点M，
在l1 上求点N ，使
AM+MN+NB 的值最小．
【问题9】图形
在直线l 上求一点P，使
PA -PB 的值最小．
3
P
E
【问题 10】
作法
图形
原理
在直线 l 上求一点 P ，使 PA - PB 的值最大．
作直线 AB ，与直线 l 的交
点即为 P ．
三角形任意两边之差小于第三边． PA - PB ≤AB ． PA - PB 的最大值＝AB ．
【问题 11】 作法 图形
原理
在直线 l 上求一点 P ，使 PA - PB 的值最大．
作 B 关于 l 的对称点 B ＇
作直线 A B ＇，与 l 交点即
为 P ．
三角形任意两边之差小于
第三边． PA - PB ≤AB ＇． PA - PB 最大值＝AB ＇．
【问题 12】“费马点”
作法 图形
原理
△ABC 中每一内角都小于 120°，在△ABC 内求一点 P ，使 PA +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以 AB 、AC
为边向外作等边△ABD 、 △ACE ，连 CD 、BE 相交
于 P ，点 P 即为所求．
两点之间线段最短． PA +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】
1. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有
一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A. 2
B.
2 A D
C ．3
D ．
B
C
2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD
交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（
）
A ．2
B ． 2
C ． 2 +
D ．4
6
3
6
3
2 3
3. 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在 BC 、CD 上分别找一点 M 、N ，使△AMN 的周长最小时，
∠AMN +∠ANM 的度数为（
） A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 AB
上的动点，则 BM +MN 的最小值是 ．
5. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B 、C 重合），
且 ED ＝AE ，则线段 AE 的取值范围是 ．
6. 如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，
则 MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
即 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）
7. 如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B ( 6 ，0)．
OC 平分∠AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA ＋MN 的最小值是 ．
8.已知A（2，4）、B（4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，
此时C、D 两点的坐标分别为．
9．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P 为x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；
（2）P 为x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；
（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
10.点C 为∠AOB 内一点．
（1）在OA 求作点D，OB 上求作点E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
11.（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；。