小结及展望


从前面的数值模拟中我们可以看到： 有限差分法在处理解析方法不能解决的例如具 有复杂边界形状或者边界条件、含有复杂媒质 的定解问题时简单方便且明了。 给定一定的边界条件，就可以通过迭代求得函 数的离散值。
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第三章 静电场边值问题解法
应用举例


有限差分法的应用很广泛，其中，最多的是计 算解析无法解决的带电体的电势、电压及电荷 分布问题．下面，将分别介绍一些实例． 1、 GTEM室内的场强分布 2、有限长导体棒的电荷分布
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第三章 静电场边值问题解法
GTEM室

吉赫横电磁波小室(GTEM)是一种用于测量电磁 兼容和场强实验设备。但是，由于小室形状复 杂，理论分析困难，所以在准确度要求较高的 计量标准领域的应用进展相对迟缓。被测物所 在处的场强到底是多少，以及满足误差要求的 空间区域是否仍然能够包容被测物，将直接决 定校准的准确度，甚至决定校准方案是否成立。 下面将利用有限差分法对场强、电势进行数值 模拟，进而对室中放臵被测物后的电磁场分布 进行分析研究。
将上面两式相加，得
2 2 h ( 2 2 ) 1 2 3 4 40 x y
2
在上式中代入
2 2 0 2 x 2 y
得
1 2 3 4 40 Fh2
0 (1 2 3 4 Fh2 ) / 4
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第三章 静电场边值问题解法
迭代法
要计算场域内各结点的值，需利用边界条件， 对各点的初值进行迭代。迭代法分为简单迭 代法和超松弛法。 一、简单迭代法迭代式为
1 n n n n n n1 n ( 1 4 j ,k j ,k j 1 j ,k 1 j 1,k j ,k 1 j ,k ) / 4
200
100
12.50
左图为直径1cm、长20cm的 带电导体棒的等电位曲面图 底截面图。从图中我们可以 看出导体棒周围的等势线在 远离棒处近似为椭圆，当逼 近棒时，变为棒的截面矩形 的形状，而且可以看出电场 线在接近导体表面的地方是 垂直于导体表面的，向外发 散，并且，离棒越近电场线 越密.
径 向(mm)
4
第三章 静电场边值问题解法
其中，
F 0
对于 0 的区域，得到二维 即
F 0
拉普拉斯方程的有限差分形式
0 (1 2 3 4 ) / 4
上式表示任意点的电位等于围绕它的四个点的电位平均
值。当用网格将区域划分后，对每一网格点写出类似的式 子，就得到方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程 组。已知的边界条件在离散化后成为边界上节点的已知电 位值。
面密度（ 10
-7
库仑/米2）
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第三章 静电场边值问题解法
右边导体棒的电荷分布
0.3
? ? ? ( 10 ? ? /? )
0.2
d=5cm d=10cm d=20cm
-7
2
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 20 40 60 80 100
?
?
? ? ?
? (mm)
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第三章 静电场边值问题解法
故1点的电位为
1 2 1 3 3 2 1 0 ( )0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 h x 2! x 3! x
1 2 1 3 2 3 0 ( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 h 3 x 2! x 3! x
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第三章 静电场边值问题解法
电势分布平面图

由左图可以看到等位线 的分布特点。线间颜色 的深浅表示电势值的大 小，极板处颜色最深， 向外逐渐递减。旁边的 颜色条表示颜色以3伏为 等级划分。

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第三章 静电场边值问题解法
有限长导体棒

有限长带电导体棒表面的电荷分布情况是一个 经典的电学问题 .由于解析方法有限,大学物 理电磁学部分提及孤立导体表面电荷密度与外 表面的曲率有关，还与导体的整体形状以及外 电场有关，而并没有这些因素对导体棒产生什 么样的影响。下面将利用有限差分法对电势、 电荷的数值模拟，讨论导体棒尺寸以及外界带 电体对导体棒面电荷分布的影响。
-7
2
）
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第三章 静电场边值问题解法
两带电导体棒物理模型的建立
0V
100V
18
第三章 静电场边值问题解法
两带电导体棒的电势平面图
80
100.0
70
96.00 88.00
60
80.00 72.00
50
64.00 56.00
Y(cm)
40
48.00 40.00
30
32.00 24.00
20
16.00 8.000
沿 导 体 棒 轴 向 (mm)
从图中我们可以明显的看出， 当外界存在带电体时，导体 棒的面电荷分布不再像孤立 导体棒具有对称性，而是发 生了变化：靠近另一带电体 的一端电荷分布较远离另一 带电体的一端电荷分布疏。 并且，随着的增加，导体棒 的面电荷密度增加，越靠近 另一带电导体，面电荷密度 减少得越明显。
3.4 有限差分法
1
第三章 静电场边值问题解法
基本思想

有限差分法是一种数值方法。 其原理是：把求解的区域划分成网格，把求解 区域内连续的场分布用网格结点上的离散的数 值解代替。用许多个能联系每点的电位与其邻 近点的电位的线性方程，组成简单的差分方程 组来代替连续场的偏微分方程，得到有规则的 分布于所描述场的整个区域的离散点的位函数 的数值解。
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第三章 静电场边值问题解法
场强分布平面图
左图是场强分布的平面图。因为看起来酷似一张笑脸，故 这种图被称为“微笑图”。从图上可看到，在极板两端点 处颜色最深，其余部分逐渐变浅，与三维分布图情况一致
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第三章 静电场边值问题解法
电势分布三维图

由左图可看出，电势也 在高度为0.9米处取得最 大值，且数值约为22.36 伏，这正是极板上所加 电势，最大值所在平面 的宽度约为1米，这也正 是极板的宽度。整体上 看，电势从底边开始， 向上逐渐递增，在极板 处取得最大值，然后开 始递减，整个图形也呈 中心对称。
2
第三章 静电场边值问题解法
基本思想

1 h h 2 h 3 h 4
在此，我们只讨论正方形网格的 划分。设轴上邻近点的一点的电 位为，用泰勒公式展开时为
1 2 1 3 1 4 2 3 x 0 ( )0 ( x 0) ( 2 )0 ( x 0) ( 3 )0 ( x 0) ( 4 )0 ( x 0) 4 x 2! x 3! x 4! x
20
40
60
80

轴向 （ cm)
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第三章 静电场边值问题解法
孤立导体棒电荷分布

0.045
0.040
库仑/米
d=1cm l=20cm d=5cm l=20cm
0.035
面密度（ 10
0.030
0.025
0.020 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
沿轴向的长 度（ cm)
从图中我们可以看出，导体 棒两端的电荷面密度最大， 而中央最小，电荷面密度从 导体棒两端向中央递减。有 限长带电代替棒的面电荷分 布并不像很多书上介绍的近 似均匀。并且，两导体棒的 面电荷分布对比我们也可以 看出：即对于相同长度的导 体棒，直径越大，导体棒的 面电荷分布越小。
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
x(cm)

导体棒直径为1厘米，长为10厘米，两导体棒的间距为30厘米
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第三章 静电场边值问题解法
左边导体棒的电荷分布

0.3
0.2
d=5cm d=10cm d=20cm
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 20 40 60 80 100
故3点的电位为
2 2 1 3 20 ( 2 ) 0 h x
3
第三章 静电场边值问题解法
当很h小时，4阶以上的高次项可以忽略不计，得
2 h ( 2 ) 0 1 3 20 x
2
同样地，可得
2 h 2 ( 2 ) 0 2 4 20 y
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第三章 静电场边值问题解法
孤立导体棒物理模型
0V
100V 导体棒
差分边界的确定
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第三章 静电场边值问题解法
孤立导体棒电势分布图

500
100.0 87.50
400
75.00 62.50
300
37.50 87.50 62.50 75.00 50.00 25.00
50.00 37.50 25.00 12.50 0
二、超松弛法简单迭代在解决问题时收敛速度比 较慢，一般来说，实用价值不大。实际中常 采用超松弛法，相比之下它有两点重大的改 进，其迭代式为：
1 n n n n n ( 1 j ,k j 1 j ,k 1 j 1,k j ,k 1 ) / 4
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第三章 静电场边值问题解法
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第三章 静电场边值问题解法
物理模型的建立
22.36 · ü
1m 1.2m 0.9m
1.5m
GTEM室截面示意图
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第三章 静电场边值问题解法
场强分布三维图

由图可以看到，场强值大约在 高度为0.9m的地方取得极大值， 因为此处正是室内极板所在的 位臵，且从趋势看，渐渐汇集 到了两点，这两点正是极板的 两端点。而在极板以外的区域， 图象比较平滑，这说明场强在 这些区域的分布基本上是均匀 的，可视为匀强场。从整体上 看，图象以x轴中线为对称轴呈 对称分布。板上方的区域的场 强要稍高于板下部分，在边缘， 场强呈波浪形分布。由此可知， 当将其作为实验室测试设备时， 待测物应尽量放臵于极板下方 的空旷区域内，这样待测物才 是处于匀强场中，测量结果才 是准确，客观的。