最新全国数学竞赛试题及答案2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时，请依据本评分标准•填空題只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理■步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次•一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分•1.已知止实数4满足°。

= (%)匕则log u(3α)的值为_________答案：⅛I £9解：由条件知9α = α",故3a = J9a ∙a=αub,所以log (3t∕)=—・2.若实数集合{l,2,3,x}的最人元索与最小元索Z基等于该集合的所有元素之和，则开的值为___________ ・答案：一扌.解：假如x>0 ,则故大、最小元素之林超过max{3,x},而所有元素之和大T∙nm{3,x},不符合条件•故XVO,即.丫为最小元素.「•是3-.丫= 6 + .丫，解得心弓. ，.3・平而百•角坐标条中，e是单位向吊，向吊S满足a∙e=2 , ∏ a≤5 α + ∕e对任意实数f成立，则同的取值范由是__________ ・答案:[√5,2√5].解：不妨设e = (l,0).由于α∙ e = 2,可设α = (2,y),则对任总实数八¾*4⅛52 = a <5 aA-te= 5√(2÷∕)2÷s2 ,这等价于4÷√<5∣5∣,解得μ∣∈[1,4],即.r∈[∣J6]. 于足a= >∕4÷52∈[∖∕5,2>∕5].4•设为椭圆F的长轴顶点，化尸为F的两个焦点，|肋| = 4、∣JF∣= 2÷√3, P为F上-点，满足I PE∖↑PF∖ = 2 ,则••的面积为__ .答案：∣∙解：不妨设平而頁角坐标系屮「的标准方程为⅛ + 4=l(α>∕>>0)・a' Ir根据条件得2a = ∖AB∖= 4, α± Ja -b2 =∣Jλ ∣ = 2 + V3 .可知O = 2,6 = 1,且纠=2圧F = 2√3 .山椭関定义知|P£| + ∖1Ψ∖= 2α = 4,结合|阳・|阳=2得∖PE[ + IPrI2 = (IMl + 1"Ir - 2∖PE∖∖PF∖ =12 = IzTf ,所以Z.EPF为貞角，进而Sg = ^∖PE[∖Pl∙∖ = I・5・在1,2.3,…,10中随机选出一个数—在一1,一2、一3,・・・,一10中随机选出一个数/>・则/+b被3整除的概率为_____________答案：蓿解：数ai(α,∂)共有10' = IOO种等概率的选法.考应其中使α2+Λ被3格除的选法数N •若。

被3整除•则〃也被3整除•此时各仃3种选法•这样的(仏方)何3' = 9组・若α不被3整除■则a2≡ I(InOd3) •从而/)三-l(mod3) •此时a {∖7种选法，〃有4种选法，这样的("#)有7x4 = 28组.37 因此N = 9 + 28 = 37∙于是所求概率为1006.对任总闭区间/,用数y = smx在/上的灿人值.若止数“满足Mg = 2M"∣,则4的値为________________________________ ・答案：丄7r 或旦7r.6 12解：假⅛IO<α<^,则山止弦函数图像性质得OVA仏“=SiIWSM心，打条件不符.因此σ> j,此时M OtfI = I,故Λ‰=4・于是〃在非负整数4使得2kπ÷-π <a <2cι <2Λπ +—π .①6 6乂①中两处“s ”至少有一处取到等号.当&= 0时，得G = =Tr或2α =匕Tr・经检验，t/ = —7Γ, —π均满足条件.6 6 6 12当& 2丨时，由F 2Λπ + -π<2 2Arπ÷-π ,故不存在满足①的α・综匕4的值为丄亦或空Tr・6 127.如图，止方体A Hcl)- EI GH的•个截而经过顶点,4,「及棱H上•点K・IL将正方体分成体枳比为3:1的两部/∕r分.则£的伉为______________ .Kr答案：・解：记(、为檢ħi所任半面.延SF交r点几则P 在n上.故宜线CPfiL(I f I平面BCGF的交线•设CP与卩G交于点L •则四边形 /紅C为截面・因平而ABC平行于平而KlL >且AK. BF、CL共点P ,//台・不妨设正方体楼长为1•则正方体休枳为1∙结合条件知棱台ABC-KFL 的 体枳卩=丄・4设PF = h ,则竺=皂=些=丄.注总到AB IiC Pli 力 + 1分别是棱锥P-ABC^锥P-MZ 的髙，于是化简得方=1,故嗨.从而^ = ^ = I = √3∙8•将6个数2, 0,1, 9, 20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为 ____________ •答案：498・解：将2, 0,1, 9, 20J9的首位不为0的排列的全体记为A ・易知制= 5x5!=600 （这里及以下，IX ∣农示有限集X 的元索个数）・将J ∙∣∙2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为J'P 2的后 一项足0,但1的拆一项不足9的排列的全体记为「： J 1I 1I 的丿Γi 一项足9,但2 的后一项不是0的排列的全体记为D •易知网= 4!, ∣β∣÷∣C ∣ = 5!・ ∣B ∣+∣D ∣ = 4×4!.即∣B ∣=24,∣C ∣ = 96,∣D ∣ = 72∙由〃中排列产生的每个8位数,恰对应〃中的2x2 = 4个排列（这样的排列 中，20IIr 与“ 2,0”互换.19可与“1,9 ”互换）・类似地,由“或D 中排列产 生的每个8位数,恰对应「或D 中的2个排列.因此满足条件的8位数的个数为 |小（〃 UCUD ）1+弓+"； PI二.解答题：本大题共3小题，满分56分•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤•9.（本题满分16分）任ZU 〃「中,BC = a,CA ≈ 6, AB = C ・若〃是α ⅛ C 的 等比中项，ILSin /足sin （〃一/4）与sin 「的等左中项，求COS 〃的Hi ∙解：I 大“足c 的等比中项，故/∕√i ∙√>0,满足 b = CIa y C = CI I a . 因SinJ 是sin （〃一力）,Sin C 的等差中项,故2sin J = Sin(Zy-J)÷sinC = sin(2∕ — J)+sin(B + A) = 2sinBcos •结合正、余弦定理，得 a Sin A I Λ2 + c 2 —α2—= ----- =COS A = ---------- b Sin B Ihc即b 2 +c 2-a 2= IaC.= ∖AB. BC-PB-I KF. FL. PF 3/r ÷3Λ÷I6(∕∕÷1)2坐L 鬥一也 = 600-18-48-36 = 498I t.............. 20分IL （本题满分20分）称一个复数数列｛叮为“冇趣的”，若∣∙l∣ = l, H 对任盘正整数”，均有4zt l +2r^+1÷z; = 0.求爪犬的带数「，使得对一切有趣 的数列匕」及任意止整数加，均有∣z 1÷z 2÷∙∙→r m ∣≥C ・解：考虑有趣的复数数列｛»｝・归纳地可知亠HoSGNJ.由条件,得。

「一将①代入并化简，可知b+于一 1 = 2几即√4=√÷1,所以2 √5 +1q∙ = ---- •...... 予2 12分进而_ D C 2 +α2 - ft 2g 4+l-g' I∖∕5-lCOS Z/ =—Z = "~τ=2(/( 2(「 q 2........................... 16分10.（本题满分20分）在平而直角坐标系XOF 中，IMlQ 与抛物线『:b=4x 恰有一个公共点，且圆。

与X 轴相切于r 的魚点F ・求圆Q 的半径・解：易知『的焦点F 的坐标为（1,0）.设恻Q 的半•径为r （r >0）・山对称性, 不妨设。

在X 轴上方与X 轴相切于F ,故。

的方程为（x-l ）2÷（^-r ）2 = r 2 ・=£代入①并化简，得匸一1 ÷∕-2∕y = 0・显然y>0,故44hI1 ［（y 2VF = — --- ----- 1 + V2八432y........................... 5分根据条件.②恰有一个止数解丿，该y 值对应Q 与『的唯一公共点. 考虔f（y ）= UJ役（丿>O ）的最小值.32y由平均值不等式知才+4 = y2+* + g + g≥4 ［产彳,从而Λy) >当Ji 仅当r=y ・即丿=芈时，/U ）取到故小值警・山②有解可知r ≥芈・又假如r> 習,因/（刃随y 连续变化，且y → 及y→+oc 时/（J ）均可任意大，故②在I o,^∣及I 羊 15分, + OO 上均有解，与解的唯一性矛∕⅛∙综上’仅有〜学满足条件（此时是。

与F 的唯一公共点）•头定@瞬践檎解得玉L = .T±/i (〃wN ・)・内此 Ul=BI •占=+（〃“•）・进而冇+ 1 = 0（〃WN ） ∙I=N-I I +⅞II =⅛id T m =∣z l ÷r 2d -- 卜 r w ∣（∕w ∈N*）. 肖加=2$GWN •）时,利用②可得7上 I 二I + & I - £ I -2⅛-∣ + 二” I >专- £ I -2t-i +I 「2二”+二小 3±>Λi _空 4~ _ — 2门〃"・)・I >∕3 >/3 V3 ^l=T -∑i aT = τ∙.............. 10分当/» = 2$ +I （SWNJ 时.由①、②可知1-2Mll =⅛<3‰ = Σ2pΓΓ= Σl÷* ∣÷-2il tL j*x ArHz 4-1H^≥∣-∣÷-2∣-[∑∣-当加=1 时.7；=IZ I I = 以上表明C =普满足要求.2i-l +二』T-2,÷∣l >~~ΣI -2⅛-l ÷r2tl = ~∙ 1>√∑.一 315分另一方而，当 ∑∣ = 1, Z lk ' + J^i｛二」为仃趣的数列•此时”> ∙2*<∣2”*'^1^^i (A ∙∈N*)时.易验证知Iim7- 4 ∙∕×= Iiml÷⅛"3= IiT r 1 +刀（二”+"J⅛=l-3÷√3i 4√3 -------- =—.3这表明「不能大于£综上•所求的42019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.—、（本题满分40分）如图，在忧角「屮，M是肌边的屮点•点P在（、内，使得AP r∙分乙BAC .片线MP与HABp、氐AeP的外接圆分别相交于不同于点P的两点/）"・证明：若DE = MP,则〃C=2BP・证明：延长PA/到点F ,使得MF = ME・连接必；IiLI CE・Ih 条彳牛币J⅛J ΔHDP = Z/MP =乙CAP = Z.CEP = ΔCEM ・..... 10 金∣λ∣为HM = CXf ILEM = FM、所以=CE且BFHCE ・于是Z" = Z-CEM = ZRl)P,进而Bl) = B卜・........... 20 分又 DE = MP,故Dp = EM = FM ・F是在等腰厶Bf)F中,由对称性得〃P = BM・从而BC≈2BM ≈2BP・40分二、(本题满分40 分)设整数αl,α2√∙∙,σ20l9满足l = α1 <^2≤,*,≤^Ol9・记 / = (a； + + …+ a2O∣9 )4。