第十九章 四边形一、 基础知识（一）四边形由一般到特殊的演变示意图（二）特殊四边形（三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、例题例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABE =∠CDF ，AB= CD.又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB =∠CFD = 90°， ∴△ABE ≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF.例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.求证：BE = CF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB = OC. 又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO =∠CFO = 90º. ∵∠BOE =∠COF. ∴△BOE ≌△COF. ∴BE = CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.例3已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.又∵AB = DC ，BE = 2EA ，CF = 2FD ， ∴BE = CF. ∵BC = CB ， ∴△BEC ≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB.例4如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且（1）求证：△ABE ≌△CDF； （2）若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD ，∠A =∠C. ∵AE = CF ，∴△ABE ≌△CDF.（图1）A DB CE F(图6) MN O A B C DE F（图2）（2）解析： 四边形MFNE 是平行四边形. ∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB =∠CFD ，BE = DF. 又∵M 、N 分别是BE 、DF 的中点，∴ME = FN. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB ∥DF ，即ME ∥FN. ∴四边形MFNE 是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 例5如图7， ABCD的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.求证：四边形AFCE 是菱形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF是AC 的垂直平分线， ∴OA = OC ，∠EOA =∠FOC ，EA = EC. ∴△EOA ≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE 是平行四边形. 又∵EA = EC ， ∴四边形AFCE 是菱形. 例6如图9，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.（1）如果 ，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一. （1）①AE=CF ；②OE = OF ；③DE ⊥AC ，BF ⊥AC ；④DE ∥BF 等. （2）①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB = CD ，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF. ∵AE=CF ，∴AC －AE = AC －CF ，即AF = CE.∴△DEC ≌△BFA. 例7如图10，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.BB C解析：（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵BC = CB ，AB = DC ， ∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC. 又∵EG ∥AC ，∠ACB =∠GEB. ∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG. ∵EG ∥OC ，EF ∥OG ， ∴四边形EGOF 是平行四边形. ∴OE = OF ，EF = OG. ∴四边形EGOF 的周长 = 2（OG ＋GE ）= 2（OG ＋GB ）= 2OB. （2）如图11，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C. 求证：四边形EFOG 的周长等于2OB注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？ 例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释. 解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E 、F ，则S 四边形ABFE = S 四边形EFCD =4)(hb a +. 方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE =21（a ＋b ），连结AE. 则S △ABE = S 四边形AECD =4)(hb a +. 方案三：如图14（3），连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的一半.分析此方案可知，∵AE = EC ，∴S △AEB = S △EBC ，S △AED = S △ECD .∴S △AEB ＋S △AED = S △EBC ＋S △ECD =21 S 四边形ABCD .图14BA备用图（1）备用图（2）图13（1）ABCDEF （2） ABCDE （3）ABC DE例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．解析：拼法有多种，现列举四例：三、适时训练（一）精心选一选1.下列命题正确的是（ ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ）（A ）1 （B ）1.2 （C ）32（D ）1.5 5．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm 6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )（A ）互相垂直 （B ）相等 （C ）互相平分 （D ）互相垂直且相等 7. 如图，等腰△ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，AB=5 那么四边形AFDE 的周长是 （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）208.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．(A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 图15A B CDEO图8R P DC B AE F第12题图 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24（D ）８12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ， 则梯形中位线的长等于（ ）A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 15.如图,在一个33⨯方格纸上,若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该33⨯方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个A.13B.14C.18D.20 （二）细心填一填1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。