四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于1800，n边形的内角和等于(n-2)·1800，任意多边形的外角和等于3600，n边形的对角线条数为n(n-3)/2.2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形.判定：（1）定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3、矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：（1）定义判定；（2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形.4、菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）.判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定：（1）定义判定；（2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形；（3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：（1）两腰相等；（2）两条对角线相等；（3）同一底上的两个底角相等；（4）是轴对称图形.判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）.9、中心对称定义：强调必须旋转．．．．180．．．°重合。

定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）.10、各种四边形之间的相互关系。

正方形【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。

2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。

3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。

4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线； （4）延长两腰相交； （5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交. 梯形常用的辅助线如下图:EF E EA DB C C B D AADBCE E C B DAADB C EFC B DA5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。

7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形. 8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种. 9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。

【典型例题剖析】【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.剖析：设此凸多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于3600”的推论，列方程，得 (n - 2)·1800=3600. 解得 n=4.【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是 （ ）A. B. C.D.剖析：由“方法总结”第7条，易知选A. 【例3】下列命题中，真命题是( )A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A 、B 、D 都不对，它们分别缺少了 “两邻．边”、“平行．．四边形”、“对角线互相平分．．．．”等条件；C 中四边形的四个角相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。

故选C.【例4】如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（ ） A ．4 cm B ．6cm C ．8cm D ．10cmABCOED剖析：由题意知，AD+CD=8cm 。

□ABCD 中，AC 、BD 互相平分，则OE 为AC 的垂直平分线，所以EC=EA 。

因此，△DCE 的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm 。

故选C.【例5】如图，在□ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AC 、BD 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用. ∵□ABCD 中，AE ∥CF ，∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF ，AO=CO.∴△AOE ≌△COF ，∴EO=FO. ∴四边形AFCE 是平行四边形 . 又EF ⊥AC ，∴□AFCE 是菱形.【例6】如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形AEFC 是菱形，EH ⊥AC ，垂足为H ．求证：EH＝21FC ．剖析：容易证得，四边形HOBE 是矩形，则EH = BO = 12 BD = 12 AC = 12FC.【例7】探究规律：如图1，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点。

（1）请写出图中面积相等的各对三角形： 。

（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有： 与△ABC 的面积相等； 理由是： 。

n m第26题图1 OB APC第26题图2 EDC BA第26题图3NMEDCB A如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE ）还保留着，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。

请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。

（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形； （2）说明方案设计理由。

剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念——“创新”与“应用”两大主旋律。

（1）△ABC 和△ABP, △AOC 和△BOP, △CPA 和△CPB 分别面积相等。

（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等.ABCDEFO12图1 图2 图3解决问题：（1）画法如图.连结EC, 过点D 作DF//EC, 交CM 于点F, 连结EF, EF 即为所求直路的位置. （2）设EF 交CD 于点H, 由上面得到的结论，可知： S △ECF =S △ECD , S △HCF =S △EDH . ∴S 五边形ABCDE =S 五边形ABCFE , S 五边形EDCMN = S 四边形EFMN .【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD 折叠成一个矩形EFNM(图中EF,FN,EM 为折痕)，使得点A 与B 、C 与D 分别重合于一点.请问，线段EF 的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.提示：EF 为梯形ABCD 的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。

基础题型1．如图在平行四边形ABCD 中，:5:3A B ∠∠=，求这个平行四边形各内角的度数 ABCD解：四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，180A B ∠+∠=︒由于:5:3A B ∠∠= 故设5A x ∠=，则3B x ∠= 即53180x x +=︒ABDEFMN解得22.5x =︒ 因此522.5112.5A ∠=⨯︒=︒，322.567.5B ∠=⨯︒=︒ ∴平行四边形各内角度数分别是112.5︒，67.5︒，112.5︒，67.5︒２．已知平行四边形ABCD 的周长为38cm ，AC ，BD 相交于O ，且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长 解：四边形ABCD 为平行四边形∴OA OC =，AB CD =，BC AD =AOB ∆的周长＝OA OB AB ++BOC ∆的周长＝OC OB BC ++ 且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm∴()()3OC OB BC OA OB BC ++-++= 3BC AB ∴-=又平行四边形ABCD 的周长为38cm∴19BC AB +=∴8AB =cm ，11BC =cm ∴8CD =cm ，11AD =cm３．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F求证：AE CF =DCBAEF证明：方法一：四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB CD = ∴ABE CDF ∠=∠AE BD ⊥，CF BD ⊥∴AEB CFD ∠=∠∴()ABE CDF AAS ∆≅∆∴AE CF =O DCBAEF方法二：连接AC ，交BD 于O 四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC =，又AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEO CFO ∠=∠，而AOE COF ∠=∠ ∴AEO CFO ∆≅∆（AAS ）∴AE CF =４．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线上的点，且CE AF =，则BF 与DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由EF ABCD解：BF DE ∥证明：方法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =，∴BAC DCA ∠=∠180BAC BAF ∠+∠=︒，180ACD DCE ∠+∠=︒∴BAF DCE ∠=∠又AF CE = ∴AFB CED ∆≅∆()SAS方法二．连接BD ，交AC 于O在平行四边形ABCD 中，AO CO =，BO DO =AF CE = ∴OF OE =FOB EOD ∠=∠ ∴BOF DOE ∆≅∆（SAS ）∴F E ∠=∠ ∴BF DE ∥OEF ABC DOEF ABCD方法三．连接BD ，交AC 于O ，连接DF ，BE 由方法二知．OF OE =，OB OD =∴四边形BEDF 为平行四边形 ∴BF DE ∥５．如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，38AC =cm ，24BD =cm ，14AD =cm ，那么OBC ∆的周长为＿＿＿＿＿ODCBA解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知14BC AD ==cm ，11241222OB BD ==⨯=cm ，11381922OC AC ==⨯=cm ∴OBC ∆的周长为14121945BC OB OC ++=++=cm６．如图平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 交于O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ） Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ． 10F ED CBAGHO由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC ，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ，EABC ，DABC 所以共有9个７.如图，平行四边形ABCD 中，AF 平分DAB ∠交CD 于N ，交BC 的延长线于F ，DE AF ⊥，交AB 于M ，交CB 延长线于E ，垂足为O ，试证明：BE CF =ON MF EABCD证明：四边形ABCD 为平行四边形∴ADBC ∥，AB CD ∥，AB CD = ∴DAF F ∠=∠，ADE E ∠=∠，EDC AMD ∠=∠ DE AF ⊥，∴90AOM AOD ∠=∠=︒ AF 平分DAB ∠，∴DAF BAF ∠=∠OA OA = ∴AOM AOD ∆≅∆（ASA ）∴ADM AMD ∠=∠，BAF F ∠=∠，EDC E ∠=∠∴AB BF =，CD CE =BF CE ∴=∴BE CF =８．如图，已知：D ，E ，F 分别在ABC 的各边上，DE AF ∥，DE AF =，延长FD 到G ，使2FG FD =．求证：AG 与DE 互相平分．ABCDEFGABC D EF G证明：连接AD ，EGDE AF ∥，DE AF =∴四边形AEDF 是平行四边形 ∴DF AE =，DF AE ∥又2FG FD =∴12DG DF FG==∴DG AE =，而DF AE ∥ ∴四边形AEGD 为平行四边形 ∴AG 与DE 互相平分９．如图，已知D 是ABC ∆的边AB 的中点，E 是AC 上的一点DF BE ∥，EF AB ∥试说明：AE 与DF 互相平分ABCDEFABCDEF证明：连接AF ，DEDF BE ∥，EF AB ∥∴四边形BDFE 为平行四边形，∴EF BD = D 是AB 中点∴BD AD =∴AD EF =，AD EF ∥ ∴四边形ADEF 为平行四边形 ∴AE 与DF 互相平分10．如图，点M ，N 分别在平行四边形ABCD 的边BC ，AD 上，且BM DN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：MN 与EF 互相平分MNABCDEF MNABCDE F证明：连接EN ，MF 四边形ABCD 是平行四边形∴BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠90MEF NFE ∠=∠=︒，90MEB NFD ∠=∠=︒∴ME NF ∥BM DN = ∴BME DNF ∆≅∆()AAS ∴ME NF =∴四边形EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴MN 与EF 互相平分11．如图，AF 与BE 互相平分，交点为M ，EC 与DF 互相平分，交点为N ，那么，四边形ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？NM EFABCDNM EFABCD解：四边形ABCD 是平行四边形证明：连接AE ，BF ，EF ，DE ，CFAF 与BE 互相平分∴四边形ABFE 是平行四边形 ∴EF AD ∥，EF AD = EC 与DF 互相平分∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴EF BC ∥，EF BC = ∴AD BC =，AD BC ∥ ∴四边形ABCD 是平行四边形12.如图，已知BE ,CF 是ABC ∆的高，D 是BC 的中点．求证：DE DF =ABCDEF证明：BE ，CF 是ABC ∆的高，∴BFC ∆，BEC ∆均为直角三角形D 是BC 的中点∴DF 是Rt BFC ∆斜边上的中线，DE 是Rt BEC ∆斜边上的中线∴12DF BC =，12DE BC=∴DE DF =13.如图，先将矩形纸片ABCD 对折一次折痕为EF ，展开后又将纸片折叠使点A 落在EF 上，此时折痕为BM ，求NBC ∠度数的大小MNABCDEF GFEDCBAN M提示：根据题意得111222AE BE DF FC CD AB BN======过点N 作NG BC ⊥，垂足为G则12NG BN=，∴30NBC ∠=︒（直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）14.过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥分别交AB ，DC 于E ,F ，点G 为AE 的中点，若30AOG ∠=︒，求证：13OG DC=GFEAB CDOODCBAEFG证明：连接CE 四边形ABCD 是矩形∴OA OC = EF AC ⊥∴EF 是线段AC 的垂直平分线 ∴EA EC =30AOG ∠=︒ ∴60ACB ∠=︒，30OCE ∠=︒∴30BCE ∠=︒ ∴12BE EC=G 是AE 中点∴1122OG AG GE AE CE ====∴OG AG GE EB === ∴13OG DC=15.在矩形ABCD ，6AB =,8BC =，将矩形折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，在展开，求折痕EF 的长FEDCBAO解：6AB =,8BC = ∴由勾股定理可得10AC =根据题意有AF CF =，设AF CF x ==，8BF x =-由勾股定理222AB BF AF +=，即2226(8)x x +-= 解得254x =∴254FC =2575642AFCESCF AB =⨯=⨯=，12AFCES AC EF =⨯∴152EF =（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）16．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD ∠，120AOD ∠=︒，求AEO ∠的度数EODCBA答案：提示ABE ∆为等腰直角三角形，OAB ∆为等边三角形，OBE ∆为等腰三角形 30OBE ∠=︒，75OEB ∠=︒，754530OEA ∠=︒-︒=︒17.如图，MN 为过Rt ABC ∆的直角顶点A 的直线，且BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于点E ，AB AC =，F 为BC 的中点，求证：DF EF =ABCDEFNMABCDEFNM证明：连接AFABC ∆为直角三角形，F 为斜边BC 的中点∴BF AF CF ==90BAC ∠=︒ ∴90BAM NAC ∠+∠=︒BD MN ⊥，CE MN ⊥∴90BAM DBA ∠+∠=︒，90BDA AEC ∠=∠=︒ ∴DBA EAC ∠=∠，又AB AC =∴DBA EAC ∆≅∆（AAS ） ∴DB AE =AB AC =，90BAC ∠=︒，F 为BC 的中点∴45ABC FAC ∠=∠=︒∴DBA ABC CAF CAN ∠+∠+∠+∠，即DBF FAE ∠=∠又DB AE =，AF BF = ∴DBF EAF ∆≅∆（SAS ）∴DF EF =总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18．如图E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分GHA BC D EFFEDCBA HG证明：四边形ABCD 是菱形∴BAC DAC ∠=∠ AC EG ⊥，AH AH = ∴AHE AHG ∆≅∆（ASA ）∴AE AG =12AE AD =∴12AG AB = AD BC ∥ ∴F AEG ∠=∠BGF AGE ∠=∠ ∴AGE BGF ∆≅∆（AAS ）∴EG FG =，AG GB = 即AB 与EF 互相平分方法二：连接AF ，BE由12AE AD =，12AG AB =得AGE AEG BGF BFG ∠=∠=∠=∠，则AE AG BG BF ===∴AE BF ∥且AE BF =∴四边形AFBE 为平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分 19．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，交BC 于点D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ．求证：四边形CDEF 是菱形ABCDEFH证明：AD 是A ∠的平分线 ∴CAD EAD ∠=∠90ACB ∠=︒，CH AB ⊥∴90CAD CDA ∠+∠=︒，90FAH AFH ∠+∠=︒ ∴CDA AFH ∠=∠AFH CFD ∠=∠ ∴CFD CDF ∠=∠ ∴CF CD =AD 是A ∠的平分线，CD AC ⊥，DE AB ⊥∴CD DE = ∴CF DE =CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CH DE ∥∴四边形CFED 是平行四边形CD CF = ∴平行四边形CFED 是菱形20．菱形ABCD 中，120DAB ∠=︒，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长解：AB CDODCBA若对角线12AC =cm ， 如图四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形∴菱形ABCD 的边长为12cm若对角线12BD =cm ， 如图四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形又OD OB =∴6OD OB ==cm 设OA x =，2AD x =，由勾股定理可得222(2)6x x =+，解得x =∴AD =cm综上所述：菱形ABCD 的边长为12cm或cm22．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，F 是BC 上的一点，且3BF FC =求证：AE EF ⊥ABCDEFABCDEF证明：连接AF ，设FC k =，则4BC k = 四边形ABCD 是正方形 ∴90B C D ∠=∠=∠=︒，4AB BC CD AD k ====E 为CD 中点 ∴2DE EC k ==在Rt ABF ∆中，222225AF AB BF k =+= 在Rt ECF ∆中，22225EF EC FC k =+=在Rt ADE ∆中，222220AE AD DE k =+= 则222AE EF AF +=，∴AEF ∆是直角三角形∴90AEF ∠=︒ ∴AE EF ⊥ （到初三的时候此题还有额外的证明方法）23．如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE BC ⊥于E ，作PF CD ⊥于F ，连接AP ，EF ．求证：AP EF =，AP EF ⊥FEPABCDH DCBAPEF证明：连接PC ，延长AP 交EF 于点H 四边形ABCD 是正方形∴45ABP CBP ∠=∠=︒，AB BC =BP BP = ∴ABP CBP ∆≅∆（SAS ）∴AP CP =，BAP BCP ∠=∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，BC CD ⊥∴四边形PECF 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形） ∴PC EF = ∴PA EF =PF EC =，90EPF PEC ∠=∠=︒∴PEF EPC ∆≅∆（HL ）∴PFE PCE ∠=∠ ∴PFE BAP ∠=∠AB BC ⊥，PE BC ⊥ ∴AB PE ∥ ∴BAP EPH ∠=∠ 90PFE PEH ∠+∠=︒ ∴90EPH PEH ∠+∠=︒ ∴AP EH ⊥24．如图正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN DM ⊥，BN 平分CBE ∠，交MN 于N求证：DM MN =NABCDEMFM EDCBAN证明：取线段AD 的中点F ，连接FM 四边形ABCD 为正方形∴AB AD =，90A ABC ∠=∠=︒ F 为AD 中点，M 为AB 中点∴DF AF AM MB ===∴45AFM AMF ∠=∠=︒ ∴135DFM ∠=︒BN 平分CBE ∠ ∴45CBN EBN ∠=∠=︒ ∴135MBN ∠=︒ ∴DFM MBN ∠=∠ DM MN ⊥ ∴90DMA NMB ∠+∠=︒90DMB ADM ∠+∠=︒ ∴ADM MBN ∠=∠在DMF ∆与MNB ∆中MDF NMB DF MBDFM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DMF MNB∆≅∆()ASA ∴DM MN =思考：若点M 是线段AB 上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？M EDCBANFM EDCBAN请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF BC ⊥，求证：梯形ABCD 为等腰梯形AB CDEF M NAB CDEF证明：过E 分别作AB ，DC 的平行线交BC 于M ，N ，易知四边形ABME 和四边形DCNE 都是平行四边形 ∴AE BM =，DE NC =，AB EM =，DC EN =E ，F 分别是AD ，BC 的中点∴AE DE =，BF CF =∴BM CN = ∴BF BM CF NC -=- ∴MF NF ⊥EF BC ⊥ ∴EM EN = ∴EF 是线段MN 的垂直平分线∴ME NE = ∴AB CD =故梯形ABCD 是等腰梯形26．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD =，60B ∠=︒，15AD =cm ，49BC =cm ，求它的腰长DC B AEAB CD解：方法一：过点A 作AE DC ∥，交BC 于点EAD BC ∥ ∴四边形AECD 为平行四边形∴AD EC =，DC AE =AB DC = ∴AE AB =60B ∠=︒ ∴四边形ABCD 为等边三角形∴BE AB =15AD =，49BC = ∴491534BE BC CE BC AD =-=-=-=∴34AB CD ==cm方法二MNABCD过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，过点D 作DN BC ⊥，垂足为N 四边形ABCD 为等腰梯形∴AB CD =，B C ∠=∠90AMB DNC ∠=∠=︒∴ABM DCN ∆≅∆（AAS ） ∴BM CN =90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒ ∴四边形AMND 为矩形 ∴AD MN =49BC =，15AD =∴11()(4915)1722BM CN BC AD ==-=-=60B ∠=︒ ∴30BAM ∠=︒ ∴234AB BM ==cm27．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，点E 是BC 的中点求证：①DE AB ∥ ②1()2DE AB AC =-ACD EFEDCBA证明：①延长CD 交AB 于点F AD CD ⊥，∴90ADC ADF ∠=∠=︒AD 平分BAC ∠ ∴DAC DAF ∠=∠AD AD =∴ADC ADF ∆≅∆（ASA ）（AD 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”） ∴AC AF =，FD DC =点E 是BC 的中点∴DE 是三角形CBF ∆的中位线∴DE BF ∥，12DE BF=②AB AF BF -= ∴BF AB AC =-∴1()2DE AB AC =-28．如图，在梯形ABCD 中，DC AB ∥，BC DC AB =+，E 是AD 中点求证：90CEB ∠=︒ABCDEABCDEF证明：取BC 中点F ，连接EF 由梯形中位线性质可知EF DC AB ∥∥且1()2EF DC AB =+BC DC AB =+ ∴2EF BC = ∴EF CF FB == ∴90CEB ∠=︒与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。