2020-2021学年第一学期高三年级9月月考文科数学试卷
考试时长：120分钟
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}
22x x y x M -==，N ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则M ∩N ＝
A ．[0，1）
B ．（0，1）
C ．（﹣1，0]
D ．（﹣1，0） 2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x +1≥0；命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ．则下列命题
为真命题的是
A ．p ∧q
B ．p ∧￢q
C ．￢p ∧q
D ．￢p ∧￢q
3．已知函数f （x ）的导函数为()x f '，且满足关系式f （x ）＝x 2+3x ()2f '+e x ，则
()2f '=
A ．﹣0
B ．﹣2
C ．﹣
D ．﹣﹣2
4.函数2()ln(3)f x x ax =--在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是
.(,2]A -∞- .(,2)B -∞- .(,2]C -∞ .(,2)D -∞
5．设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝，则
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
6．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （1）＝1，且f （x ）的导数()x f '＞，则不等
式f （x 2）＜的解集为
A ．（﹣∞，﹣1）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
D ．（﹣1，1）
7．函数f （x ）＝的大致图象为
A B C D
8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I （t ）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）＝，其中K 为最大确诊病例数．当I （t *）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）（ln 19≈3）
A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
9．对任意实数a ，b 定义运算“⊙“：a ⊙b ＝
，设f （x ）＝（x 2﹣1）⊙（4+x ）+k ，若函数f （x ）的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是
A ．[﹣2，1）
B ．[0，1]
C ．（0，1]
D ．（﹣2，1）
10．设函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2﹣bx ，若x ＝1是f （x ）的极大值点，则a 的取值
范围为
A ．（﹣1，0）
B ．（﹣1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
11．已知定义域为R 的函数，若关于x 的方程
()()02=--c x bf x f 有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3
∈[﹣1，+∞），则f （x 1+x 2+x 3+b +c ）＝
A ．log 25
B ．log 26
C ．3
D ．2
12．已知函数f （x ）＝2x ，函数g （x ）与p （x ）＝1+ln （﹣2﹣x ）的图象关于
点
（﹣1，0）对称，若f （x 1）＝g （x 2），则x 1+x 2的最小值为
A ．2
B ．
C ．ln 2
D ．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数()1+=ax e x f 的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为a ，则a 的值为
_____.
14.已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）＝f （1+x ），
若
f （1）＝2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020）＝ ． 15.已知函数()2lo
g f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在
区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则=+n m ．
16．已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ﹣ax （a ＞），
当
x ∈（﹣2，0）时，f （x ）的最小值为1，则a 的值等于 ．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
(1)证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；
(2)若53132
S =
，求λ． 18．（本小题满分12分） ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
2(tan tan )A B +tan cos A B =tan cos B A
+. (1)证明：2a b c +=；
(2)求cos C 的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，△ABS 是正三角形，四边
形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．
(1)求证：SD ∥平面ACE ；
(2)若平面ABS ⊥平面ABCD ，AB ＝4，∠ABC ＝120°，
求三棱锥E ﹣ASD 的体积．
20．（本小题满分12分）
设函数f （x ）＝x 2+1﹣lnx ．
(1)求f （x ）的单调区间；
(2)求函数g （x ）＝f （x ）﹣x 在区间
上的最小值． 21．（本小题满分12分）
函数()x x ae x f x ln 2-+=（e 为自然对数的底数），a 为常数，曲线()x f 在 1=x 处的切线方程为（e+1）x ﹣y ＝0
(1)求实数a 的值；
(2)证明：()x f 的最小值大于
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，
请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相
同的长度单位.已知直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα
⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ
=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集.
(1)求集合M ；
(2)若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.。