【详解】
（1）设 ， ，
则 ，两式作差得： ，
中点为 ， ， ，
直线 的方程为： ，即： .
（2）由椭圆方程知： ，可设直线 的方程： ，
联立 得： ，
设 ， ，则 ， ，
，
， ，
当 时， ， ， ；
当 时， 的垂直平分线方程为： ，
令 得： ， ， ，
，
；
综上所述： 为定值 .
【点睛】
本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.
则 ．
设 ，则 ．
∵点 在双曲线 上，
， ，
，
即 ，
则焦距为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，重点考查了双曲线焦距的求法，属基础题．
三、解答题
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，周长为 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 解方程即可；
A．3B． C．2D．4
【答案】C
【解析】注意到直线 过点 ，利用 ，可得 ，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接 ，如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，易知点 ．易知直
线 过点 ， ，则 又 ，
所以 ，由抛物线的定义可得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台
D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%
【答案】D
【解析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于 ， 年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为 ，高于 年的增长率 ， 错误；
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是 ，故中位数为 万台， 错误；
【详解】
解：由等比数列的性质可得 ，
即 ，
又 ，
即 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查等比中项，重点考查了等比数列的性质，属基础题．
4．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（）
A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年
B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台
【详解】
∵ ，∴ ．由导数的几何意义知曲线 在 处的
切线斜率为 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】 ，将 代入即可得到答案.
【详解】
连接 ， ，
则 ．
对于 ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 万台， 错误；
对于 ，从 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 ， ， ，均超过 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.
5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“ 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取 ， ）
所以 ， ，
， ．
所以 的分布列为
0
1
2
3
所以 ．
【点睛】
本题考查随机变量的分布列与期望，重点考查了运算能力，属基础题．
20．已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ， .
（1）若线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（2）若 的斜率为 ，且 过椭圆 的左焦点 ， 的垂直平分线与 轴交于点 ，求证： 为定值.
8．已知圆锥 的底面半径、高、体积分别为 、 、 ，圆柱 的底面半径、高、体积分别为 、 、 ，则 （）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由圆锥、圆柱的体积公式可得 ，再运算即可得解.
【详解】
解：由题可知 ，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆锥、圆柱的体积，重点考查了运算能力，属基础题．
9．若 ，则 （）
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）利用点差法可求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程；
（2）设 ，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出 中点坐标；当 时，易求得 的值；当 时，可得 垂直平分线方程，进而求得 点坐标和 ，利用弦长公式求得 ，进而求得 的值；综合两种情况可知 为定值.
（1）证明： 平面 ．
（2）若 是 的中点， ∥ ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）要证 平面 ，只需证 ， 即可；
（2）分别求出平面 与平面 的法向量 ，然后利用 计算即可.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
同理 可得 ．
因为 ，所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ．
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，得 ．
易知平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 所成锐二面
角的平面角为 ，所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求二面角，考查学生的数学运算能力，此题解题关键是准确写出点的坐标，属于中档题.
A．16B．17C．24D．25
【答案】D
【解析】由折线长度变化规律可知“ 次构造”后的折线长度为 ，由此得到 ，利用运算法则可知 ，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为 ，则“一次构造”后的折线长度为 ，“二次构造”后的折线长度为 ，以此类推，“ 次构造”后的折线长度为 ，
若得到的折线长度为初始线段长度的 倍，则 ，即 ，
2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（一）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出集合 ,再结合集合 ,然后求交集即可.
【详解】
解: 由题可知 ,
又
则 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的交集运算,属基础题．
2．设复数 ，若 ，则实数 （）
，
即 ， 至少需要 次构造.
故选： .
【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
6．执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为4，则输出的 的值为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】先读懂程序框图的功能，再逐步循环即可得解.
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由赋值法，取 代入求解即可.
【详解】
解：由 ，
取 ，可得 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查二项式定理，重点考查了赋值法，属基础题．
10．关于函数 ， ，有下列三个结论：① 为偶函数；② 有3个零点；③ ，其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.
15．已知正项数列 满足 ， ，则数列 的前8项和 ___________．
【答案】
【解析】先由递推式可得数列 是公差为2的等差数列，求出 ，再求出 ，然后求和即可得解.
【详解】
解：由 可知数列 是公差为2的等差数列，
21．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）先求导函数，再分别求解不等式 ， 即可；
（2）结合（1），结合函数的单调性，利用零点定理判断即可得解.
【详解】
解：（1） 定义域为 ， ．
当 时， ， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
A．0B．2C． D．
【答案】A
【解析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
3．若1， ，4， ， 成等比数列，则 （）
A． B．8C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列的性质，若 为等比数列，当 时， ，代入求解即可.
令 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，则 的最小值为 ．
故 单调递增，
又 ，
故当 时， ．
综上可知，当 时， ，满足 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查函数与方程的综合，重点考查了导数的应用，属中档题．
二、填空题
13．曲线 在 处的切线斜率为_________．
【答案】