二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

二、二次函数的系数与图象的关系。

热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与 有关。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是 .3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。

由二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象位置判定系数,,a b c 及判别式24b ac ∆=-和相关代数式符号的方法可以归纳成下表：与抛物线的关系判别方法 aa 决定抛物线的开口方向和大小;a 相等，抛物线的形状相同. 开口向上0a ⇔>开口向下0a ⇔<bb 和a 共同决定抛物线对称轴的位置: 左同右异对称轴在y 轴左侧,a b ⇔同号对称轴在y 轴右侧,a b ⇔异号 对称轴为y 轴0b ⇔=c 决定抛物线与y 轴的交点位置交点位于y 轴正半轴0c ⇔> 交点位于y 轴负半轴0c ⇔< 交点是原点0c ⇔=24b ac ∆=- 决定抛物线与x 轴的交点个数抛物线与x 轴有两个交点0⇔∆> 抛物线与x 轴有一个交点0⇔∆= 抛物线与x 轴没有交点0⇔∆<a+b+c 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 2a 与b 由抛物线的对称轴直线x=－b2a 确定4a+2b+c 由x=2时抛物线上的点的位置确定 4a-2b+c由x=-2时抛物线上的点的位置确定练习：1、函数y ＝x 2＋mx －2(m ＜0)的图象是( )2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2所示，那么( )A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3所示，则( )A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4所示，则( ) A ．b ＞0，c ＞0，∆＝0 B ．b ＜0，c ＞0，∆＝0 C ．b ＜0，c ＜0，∆＝0 D ．b ＞0，c ＞0，∆＞05、二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如图5所示，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＞3 C ．m ＜0 D ．0＜m ＜36、y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图6所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、抛物线图象如图7所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x 8、如图8是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)第7题图 第8题图 第9题图 9、如图9，看图填空：（1）a ＋b ＋c_______0；（2）a －b ＋c_______0；（3）2a －b _______0； （4）2a ＋b _______0；（5）4a ＋2b ＋c_______0；（6）a ＋2b ＋c_______0. 三、抛物线的对称性思考：1、抛物线若与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），则两交点关于__________对称，对称轴可以表示为____________________。

2、一般地，若抛物线上有两点关于对称轴对称，则它们的纵坐标__________;反之, 若抛物线上有两点的纵坐标相等，则它们关于__________对称.由此可得，若抛物线上有两点（x 1，y ）（x 2，y ）关于对称轴对称，则该抛物线的对称轴可以表示为____________________。

练习：1、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），其中a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0和9a －3b ＋c ＝0，则该二次函数图象的对称轴是（ ） A ．直线x ＝－2B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝12、已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3、已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,23(-则它与x 轴的另一个交点坐标为__________．4、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．四、二次函数与其他函数、方程、不等式的关系。

1、二次函数与其他函数。

练习：（1）在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )（2）函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )（3）已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )（4）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）(5)抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x+ x 2+1 < 0的解集是 ( )A ．x > 1B ．x < −1C ．0 < x < 1D ．−1 < x < 02、二次函数与方程、不等式（组）（1）如图1，抛物线y = x 2+ 1与双曲线y = k x的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x+ x 2+ 1 < 0的解集是 ( )A ．x > 1B ．x < −1C ．0 < x < 1D ．−1 < x < 0第1题图 第2题图 第3题图（2）如图2，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 . （3）利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________；②方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； ③方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________；④不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； ⑤不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________；xyAy xO y xO C ．y xO y xO D ．1 1O yyA⑥不等式组－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．---精心整理，希望对您有所帮助。