信号的采样与恢复（安徽建筑工业学院电子与信息学院课程设计）2012年06月29日此稿仅为借鉴摘要 (2)正文一、设计目的与要求 (3)二、设计原理 (4)三、设计内容和步骤 (5)1．用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱 (6)２.对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱 (7)3. 通过低通滤波恢复原连续信号 (9)四、总结 (12)五、数据分析 (13)六、参考文献 (1)摘要数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。

做大量的习题和上机实验，有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。

过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。

MATLAB强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。

特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。

本实验设计的题目是：信号的采样与恢复、采样定理的仿真。

通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。

实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。

信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。

信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。

一、设计目的与要求1.设计目的和要求1.掌握利用MATLAB在数字信号处理中的基本应用，并会对结果用所学知识进行分析。

2.对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连续信号和采样信号进行FFT频谱分析。

3.从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析。

4.基本要求：每组一台电脑，电脑安装MATLAB6.5版本以上软件。

二、设计原理本实验主要涉及采样定理的相关内容以及低通滤波器恢复原连续信号的相关知识。

1.采样定理：设连续信号)(t x a 属带限信号，最高截止频率为c Ω，如果采样角频率c s Ω≥Ω2，那么让采样性信号)(t x a ∧通过一个增益为T 、截止频率为2/s Ω的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号)(t x a 。

否则，c s Ω<Ω2会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，对其进行傅里叶变换可以发现采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率s Ω为周期进行周期性的延拓形成的。

对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S ，设电子开关每隔周期T 和上一次，每次和上的时间为τ，在电子开关的输出端得到采样信号x^a(t)。

用公式表示如下：(2.2.1)图1 对模拟信号进行采样Tt T t t g ππ)sin()(= (2.2.2)理想低通滤波器的输入输出)(t f ∧和)(t y ，)(t y =)(t f ∧*)(t g =ττd t g t f )()(-⎰∞∞-（2.2.3）1. 采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。

这些值包含了该连续信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。

采样定理是连续时间信号与离散时间信号之间的桥梁。

采样定理：对于一个具有有限频谱，且最高频率为ωmax 的连续信号进行采样，当采样频率ωs 满足ωs>=ωmax 时，采样信号能够无失真地恢复出原信号。

三角波信号的采样如图4-1-1所示。

图4-1-1 信号的采样2. 采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为它包含了原信号频谱以及重复周期为的原信号频谱的搬移，且幅度按规律变化。

所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。

某频带有限信号被采样前后频谱如图4-1-2。

图4-1-2 限带信号采样前后频谱从图中可以看出，当ωs ≥2Bf 时拓延的频谱不会与原信号的频谱发生重叠。

这样只需要利用截止频率适当的滤波器便可以恢复出原信号。

3. 采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以用低通滤波器。

低通滤波器的截止频率f c 应当满足f max ≤f c ≤f x -f max 。

实验中采用的低通滤波器原理图如图4-1-3所示，其截止频率固定为1802f H z R Cπ=≈：可用传输函数)(ωj G 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号)(t f 恢复出来，只是一种理想恢复。

2)2sin()(21)(t t d e j G t g s s j ΩΩ=Ω=⎰∞∞-ωωπ因为Ts π2=Ω图4-1-3 滤波器电路4. 单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两个部分构成，滤波器部分不再赘述。

其中的采样保持部分电路由一片CD4052完成。

此电路由两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲，经过采样后的信号如图4-1-1所示。

三、内容与步骤本实验在脉冲采样与恢复单元完成。

1. 信号的采样（1）使信号发生器第一路输出幅值3V 、频率10Hz 的三角波信号；第二路输出幅值5V ，频率100Hz 、占空比50％的脉冲信号。

将第一路信号接脉冲采样器的IN1端，作为输入信号；将第二路信号接入Pu 端，作为采样脉冲。

注：由于三角波含有1次、3次、5次、7次、9次等谐波分量，实验中我们认为三角波的1次、3次、5次谐波分量为有用信号，所以三角波的有效带宽为50Hz ，故当脉冲信号为100Hz 时，其刚好是三角波的最高有效频率的2倍。

（2）用示波器分别测量IN1端和OUT1端，观察采样前后波形的差异。

（3）增加采样脉冲的频率为200、500、800等值。

观察OUT1端信号的变化，解释现象的产生原因。

（4）上述输入信号不变，用频谱分析仪测量采样前的信号频谱和当采样率(输入Pu 端的脉冲信号的频率)分别为100Hz 、200Hz 、500HZ 、800Hz 时采样信号的频谱。

观察不同采样频率时，频谱的混叠情况。

2. 采样信号的恢复（1）输入信号不变，调整采样率（脉冲信号频率）为200Hz 。

（2）将脉冲采样器的输出OUT1接入滤波器的输入IN2端，用示波器测量滤波器的IN2和OUT2两端，比较滤波前后波形的变化。

（3）保持上述电路不变，用示波器分别测量原输入信号（即脉冲采样器的IN1端）和经采样和滤波后的输出信号（即滤波器的OUT2端）的波形，比较两信号的差别（4）保持上述电路不变，用频谱分析仪分别测量源输入信号（即脉冲采样器的IN1端）和经采样和滤波后的输出信号（即滤波器的OUT2端）的频谱，观察频谱的变化，并且解变化的原因。

图4.1.11三、设计内容和步骤1．用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱%................时域连续信号和频谱......................................x1=0:pi/10:(8*pi);w=linspace(0,8*pi,length(x1));figuresubplot(211)plot(x1,sin(x1)); %原时域连续信号y=sin(t)xlabel('t');ylabel('x(t)');title('原时域连续信号y=sin(t)');gridsin1=sin(x1);n=0:(length(x1)-1);subplot(212)plot(w,fft1(w,sin1,n)); %其对应频域信号Y=FFT （sin(t)）xlabel('w');ylabel('x(w)');title('其对应频域信号Y=FT（sin(t)）');grid其中要用到子函数fft1,程序代码如下：function result=fft1(w,hanshu,n)a=cell(1,length(w));for i=1:length(w)hanshu.*((exp(-j*(i-1)*pi/100)).^n); a{i}=sum(m); endfor i=1:length(w) result(i)=a{i}; end子函数通过控制参数ｎ的取值多少可分别计算离散和近似连续信号的频谱值并作为函数值进行返回。

产生图形如下：２.对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱%................采样后的信号和频谱.......................................n1=input('请输入采样点数n:');n=0:n1;zb=size(n);figuresinf=sin(8*pi*n/zb(2));subplot(211);stem(n,sinf,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('采样后的时域信号y=x(n)’);w=0:(pi/100):4*pi;subplot(212)plot(w,fft1(w,sinf,n));xlabel('w');ylabel('x(w)');title('采样后的频域信号y=FT（sin(n)）'); grid当输入n=10时，所得结果如下：当输入n=50时，所得结果如下：由抽样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，周期性在上面两个图中都有很好的体现。

但是从10点和50点采样后的结果以及与员连续信号频谱对比可以看出，10点对应的频谱出现了频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。

这是因为N 取值过小导致采样角频率c s Ω<Ω2，因此经周期延拓出现了频谱混叠。

而N 取50时，其采样角频率c s Ω≥Ω2，从而可以实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，并不产生混叠，从而为下一步通过低通滤波器滤出其中的一个周期（即不失真的原连续信号）打下了基础。

3.通过低通滤波恢复原连续信号%................经低通滤波恢复原信号......................................[B,A]=butter(8,350/500); %设置低通滤波器参数[H,w]=freqz(B,A,512,2000);figure; %绘制低通频谱图plot(w*2000/(2*pi),abs(H));xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('低通滤波器');grid;低通滤波器的频谱图figurey=filter(B,A,sinf);subplot(2,1,1);plot(y); %恢复后的连续信号y=sin(t)xlabel('t');ylabel('x(t)');title('恢复后的连续信号y=sin(t)');grid;Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;subplot(2,1,2);plot(w,abs([Y(1:256)])); %绘制频谱图xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('频谱图');grid;ｎ＝１０时恢复后的信号和频谱ｎ＝５０时恢复后的信号和频谱经上面的两个图可以看出，采样５０点的恢复波形明显比１０点的好。