2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[3,)+∞D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若zi为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．45 B ．2 C ．54- D ．12- 3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ． ()p q ⌝∧4.已知函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（ ） A ．()g x 的值域为(]0,1 B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()()f x g x ⋅为偶函数D ．()f x 的最小正周期为π5.若实数x ，y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21y z x -=的取值范围是（ ）A ．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．25B ．26C ．24D ．238.过点(3,4)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB =（ ）A ．53-B ．52-C ．2215 D ．42159.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n b b b b +=++n b +⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）A ．1062B ．2124C ．1101D ．1100 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．104π+B ．68π+C ．108π+D ．64π+11.已知动点(,)M x y 满足22(1)21x y x -+=+-，设点M 的轨迹为曲线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．5412.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.在ABC ∆中，中线AM ，BN 交于点O ，若OM AB AN λμ=+，则λμ+= ． 14.在区间[]1,1-上随机取两个数x ，y ，则事件“21y x ≥-”发生的概率为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y bx =±，A ，B 为双曲线的左，右顶点，M 为双曲线上异于A ，B 的任意一点，且0MC AB ⋅=，0BN AM ⋅=，MC 与BN 交于点G ，若点G 在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知函数()f x ，任取两个不相等的正数1x ，2x ，总有1212[()()]()0f x f x x x -->，对于任意的0x >，总有[()ln ]1f f x x -=，若2()'()()g x f x f x m m =+-+有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若3a =，求ABC ∆周长的取值范围.18.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，22BC AB ==，BD BA ⊥，2PA PB PD ===，M 为PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AMC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.19.全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队. （1）应从大三抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的分数如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.（i ）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？（ii ）从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线AB ：y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使2AB CD =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 21.已知函数2()(31)xf x x x e -=++，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：0x >时，261()(33ln )f x x x x x e e⎡⎤-⋅-++≥⎢⎥⎣⎦. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角，且2πα≠），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的倾斜角； （2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且3546ππα≤≤，点(0,2)P ，求PA PB +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =. （1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥.文数（五）一、选择题1-5: ABCCC 6-10: DADCA 11、12：AD二、填空题13.12 14. 48π- 15. 2 16. (2,)+∞ 三、解答题17.解：（1）∵25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， ∴1cos()5cos 224B C A -+-=-，∴21cos 52cos 124A A +--=-， 整理，得28cos 2cos 10A A --=，∴1cos 4A =-或1cos 2A =， ∵02A π<<，∴1cos 2A =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r ， 则322sin 32a r A===，∴1r =. ∴2(sin sin )b c r B C +=+22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62B ππ<<，∴2363B πππ<+<， ∴3sin ,162B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(3,23b c ⎤+∈⎦，∴ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.18.解：（1）连接BD 交AC 于点O ， 则O 为BD 的中点，连接MO .在PBD ∆中，//MO PB ，∵PB ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ， ∴//PB 平面AMC .（2）取AD 的中点N ，连接PN ，BN ，NC . ∵PA PD =，∴PN AD ⊥， 又∵AB BD ⊥，∴BN AN =， ∴PAN PBN ∆≅∆， ∴90PNB PNA ∠=∠=， ∴PN NB ⊥，∴PN ⊥平面ABD . ∵2BC =，1AB =，AB BD ⊥，∴2AD =，1BN =，3BD =，∴3PN =，∴13P ABC ABC V S PN -∆=⋅11311233222=⨯⨯⨯⨯⨯=. 在NDC ∆中，1ND =，1CD =，120NDC ∠=， 由余弦定理，得222cos120NC ND DC ND DC =+-⋅⋅3=.∴226PC PN NC =+=，∴PBC ∆的面积为22161562222⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵12P ABC A PBC V V --==， ∴1151322h ⨯⨯=，∴155h =. 即点A 到平面PBC 的距离为155. 19.解：（1）由题知，大三团队个数占总团队数的3003100010=， 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取320610⨯=个. （2）（i ）甲组数据的平均数130x =甲，乙组数据的平均数131x =乙，甲组数据的方差2104.2s =甲，乙组数据的方差2128.8s =乙，选甲队理由：甲、乙两队平均数相差不大，且22s s <甲乙，甲组成绩波动小. 选乙队理由：x x <甲乙，且乙队中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大. （ii ）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，分别为a ，b ，c ，144分的团队有2个，分别为E ，F ，则任取两个的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a E ，(,)a F ，(,)b c ，(,)b E ，(,)b F ，(,)c E ，(,)c F ，(,)E F ，共10个，其中两个团队都是140分的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3个. 故所求概率3711010P =-=. 20.解：（1）由题意，24a =，226a b +=， ∴2a =，1b =.∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y x t =-+，联立2214y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2258440x tx t -+-=，226445(44)0t t ∆=-⨯⨯->，解得25t <，设C ，D 两点的坐标分别为11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1285t x x +=，212445t x x -=，设CD 的中点为00(,)M x y ，∴1200042515x x t x y x t t +⎧==⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩， ∴4,55t t M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又点M 也在直线y x m =+上，则455t t m =+，∴53t m =-， ∵25t <，∴295m <.则12112CD x x =+-=⋅21212()4x x x x +-2801625t -=⋅.同理2801625m AB -=⋅.∵2AB CD =，∴222AB CD =，∴2225t m -=，∴2459415m =<， ∴存在实数m 使2AB CD =，此时m 的值为320541±. 21.解：（1）2'()(2331)xf x x x x e -=+---(1)(2)x x x e -=--+，∴在区间(,2)-∞-内，'()0f x <； 在区间(2,1)-内，'()0f x >；在区间(1,)+∞内，'()0f x <，故()f x 的单调递增区间为(2,1)-，单调递减区间为(,2)-∞-，(1,)+∞.（2）令6()()g x f x e =-，由（1）可知()g x 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，651()g(1)g x e e e ≥=-=.(*)令2()33ln h x x x x x =-++，则'()22ln h x x x =-+，设()'()s x h x =，则1'()20s x x =+>，故'()0h x =仅有一解为1x =，在区间(0,1)内，'()0h x <，在区间(1,)+∞内，'()0h x >，∴()(1)1h x h ≥=.(**)由(*)(**)式相乘，得1()()g x h x e ⋅≥， 即26()(33ln )f x x x x x e ⎡⎤-⋅-++⎢⎥⎣⎦1e ≥（当1x =时，取等号）.22.解：（1）由题知，直线l 经过定点(0,2)，圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，∴直线l 的斜率为1k =-，故直线l 的倾斜角为34π.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入22(2)4x y -+=，得24(sin cos )40t t αα+-+=，当3546ππα≤≤时，216(sin cos )160αα∆=-->，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 则124(sin cos )t t αα+=--，124t t ⋅=， ∴1212()PA PB t t t t +=+=-+4(sin cos )42sin 4πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵72412πππα≤-≤， ∴62sin 144πα+⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴23242PA PB +≤+≤， 故PA PB +的取值范围为[232,42]+.23.解：（1）∵函数()f x 的对称轴为1x =， ∴0m =， ∴()2f x x x =+-22,02,0222,2x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或0222x x <<⎧⎨≥+⎩或2222x x x ≥⎧⎨-≥+⎩.解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2F x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞+∞.（2）由绝对值不等式的性质， 可知2(2)2x x x x -+≥--=，∴min ()2f x M ==，∴2a b +=， ∴1214222a b a b +=+114(22)422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12814422b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭19(54)44≥⨯+=（当且仅当23a =，43b=时取等号）.即129 24a b+≥.。