2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 0, 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 0, a a x a x 2 a x n 0. 1 n 2 n n n 0
则有：
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大学数学课程报告论坛论文集 2010
三、结束语
实践告诉我们，在线性代数课程的教学过程中，简明扼要地讲述一些相关的背景知识，一 方面能扩大学生的知识面，另一方面能加深学生对相关知识点的理解，在实际授课中往往能起
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到“四两拨千斤”的作用。
参考文献
[1] 同济大学数学系. 线性代数 [M]. 5 版.北京：高等教育出版社，2007. [2] 罗家洪. 矩阵分析引论 [M]. 3 版.广州：华南理工大学出版社，2000.
一、引言
线性代数课程中有较多的定义、定理令初学者感到晦涩难懂，不易理解。使得不少学生对 这门课望而生畏、敬而远之，严重地影响了学生对这门重要的基础课程的学习。因此，老师在 讲授这门课的时候，特别是讲到一些学生难以理解、接受但又十分重要的概念、理论时，根据 课时多少，可以或详或简地讲讲相关的背景知识，一方面能增强学生们的学习兴趣，辅助他们 对这些重要的概念、理论的理解、记忆，另一方面也能启发他们的思维，激发他们的求知欲。 试举几例如下。
二、四个案例
案例一：范德蒙德行列式 很多线性代数教材上都有计算范德蒙德行列式这个例题，笔者认为主要有三个原因：一是 计算范德蒙德行列式所用的方法（从末行起下行减上行的同一倍数、递推、归纳）是计算行列 式的重要方法。二是范德蒙德行列式在解决代数方程根的个数、代数多项式插值方面有重要的 应用。三是为了纪念范德蒙德在行列式理论中的重要贡献：他不仅把行列式应用于解线性方程 组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。学生在学到范德蒙德行列 式时往往不知道这样一个“稀奇古怪”的行列式是怎么来的，有什么用。这时老师可先简明扼 要地介绍一下数学家范德蒙德， 然后通过分析为什么一个 n 次代数方程至多只有 n 个不同的零 点，很自然地给出范德蒙德行列式。 若 n 次代数方程 a0 a1 x a2 x 2 an x n 0 有 n+1 个不同的零点 x0 , x1 , , xn ,
浅谈线性代数教学中的背景知识的介绍
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是矩阵理论中的一个基本结论。那么，为什么要引进初等矩阵，为什么一个可逆矩阵必然能够 分解为有限个初等矩阵的乘积呢？如果能从相应的背景知识入手，往往能起到事半功倍的效 果。以二维向量为例： 初等矩阵
0 1 1 0 1 k P1 , P2 , P3 (k 0), 1 0 0 k 0 1
x1 ax1 bx2 x1 px1 qx2 f x cx dx ， g x hx lx , 2 2 1 2 2 1
则：
x px qx2 (ap bh) x1 (aq bl ) x2 f g 1 f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 。 hx1 lx2 (cp dh) x1 (cq dl ) x2 x2
a0 0, a1 1, an an 1 an 2 (n 2,3,),
显然有：
an 1 1 an 1 ， an 1 1 0 an 2
利用此递推关系得：
an 1 1 an 1 1 0
分别对应着反射变换、沿着某一轴向的伸缩变换和沿着某一轴向的切变变换，是平面上常用的 基本的变换。 用图示法很容易说明平面上对一向量的可逆线性变换总可以看成是这三种基本变 换的叠加，从而说明一个二阶可逆矩阵总可以分解为若干初等矩阵的乘积，然后再给出初等矩 阵的一般定义，给出并证明定理“一个可逆矩阵总可以分解为有限个初等矩阵的乘积” 。由于 有了背景知识的铺垫，学生在学习这一部分时就不会感到迷茫。 案例四：矩阵的对角化 学生在学习这一部分时往往搞不清楚为什么要研究矩阵的对角化。 这时可以通过引导学生 求斐波那契数列的一般项来帮助学生理解这些问题： 对于斐波那契数列：
n 1
1 。 0
从而问题转化为如何计算矩阵的幂 Ak ，这里
1 1 A 。 1 0
若存在可逆矩阵 P 及对角矩阵 B ，使得 A PBP 1 , 则易得 Ak PB k P 1 , 从而把计算矩阵 A 的 幂转化为计算矩阵 B 的幂，而对角矩阵 B 的幂可以很容易算得。这样学生就可以理解矩阵对 角化是有用的，是必须加以研究的。
a b p q p q a b 。 c d h l h l c d
然后再给出矩阵乘法的一般定义，通过这样一个背景知识的介绍，学生就能明白并接受矩阵乘 法的定义，并且能理解矩阵乘法为什么没有交换律。 案例三：初等矩阵与向量的线性变换 初等矩阵是一种简单而重要的矩阵， 一个可逆矩阵必然能够分解为有限个初等矩阵的乘积
浅谈线性代数教学中的背景知识的介绍
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浅谈线性代数教学中的背景知识的介绍
王
（南京农业大学
勇
工学院，南京市 210031）
摘 要：线性代数课程中有较多的定义、定理令初学者不易理解，影响了学生对这门 重要的基础课程的学习。本文通过几个例子，说明如何在授课过程中详略得当地介绍 相关的背景知识，以增强学生们的学习兴趣，辅助他们对一些重要的概念、理论的理 解和记忆。 关键词：背景知识；线性代数
从而引出定义：
a b p q ap bh aq bl 。 c d h l cp dh cq d
因为一般地
x f g 1 g f x2
故可以想象一般地
x1 ， x2
这个以 a0 , a1 , , an 为未知数的方程组的系数行列式是
1 x0 1 x1 D 1 xn
2 n x0 x0 x12 x1n , 2 n xn xn
正是范德蒙德行列式的转置行列式！ 在讲过后续内容克拉默法则后就可以很自然地证明一个 n 次代数方程至多只有 n 个不同的 零点，根据范德蒙德行列式的值及克拉默法则，这样一个重要的定理就这样“轻而易举”地被 证明了，学生一定会对范德蒙德行列式留下深刻的印象，对行列式理论产生浓厚的兴趣！ 案例二：矩阵乘法的定义 在学习矩阵的乘法运算时，很多学生有这样的疑问：矩阵的乘法运算为什么要这样定义， 为什么这个运算不满足交换律呢？这时通过讲解两个由二维向量到二维向量的线性变换的复 合运算， 可以使学生很容易接受矩阵乘法的定义， 并且很容易理解矩阵乘法为什么没有交换律： 设有两个由二维向量到二维向量的线性变换。