2019-2020学年河北省唐山市滦南县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有16个小题，在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，其中前10个小题每题3分，后6个小题每题2分，共42分）1． cos30°的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．为了解我校初二年级800名学生的体重情况，从中抽取了80名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）A ．800名学生的体重是总体B ．800名学生是总体C ．每个学生是个体D ．80名学生是所抽取的一个样本3．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．3：4B ．4：3C ．：2D ．2： 4．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：则这15名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ）A ．6 h ，6 hB ．7 h ，7 hC ．7 h ，6 hD ．6 h ，7 h5．已知＝，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：则成绩发挥最不稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．关于x 的一元二次方程（2﹣a ）x 2+x +a 2﹣4＝0的一个根为0，则a 的值为（ ）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣28．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5B．86.5C．90D．90.59．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根10．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2B．4C．3D．511．（2分）下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（）A．2x2+x﹣2＝0B．x2+2x﹣2＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝012．（2分）已知α为锐角，tanα＝，则sinα＝（）A．B．C．D．13．（2分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．14．（2分）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（）A．12B．10C．8D．615．（2分）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（）A．（4，3）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，4）16．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB×AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共3个小题，第17小题3分，第18、19小题每空2分，共计11分）17．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是．18．（4分）如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，这时，测得岛屿P在其北偏西30°方向，则海监船到岛屿的最小距离是km；保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为km．（结果保留根号）19．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，做底角∠ABC的平分线BD交AC于点D，易得等腰△BCD，做等腰△BCD底角∠BCD的平分线CE，交BD于点E，得等腰△CDE，再做等腰△CDE底角∠CDE的平分线DF，交于CE于点F，…，若已知AB＝b，BC＝a，记△ABC为第一个等腰三角形，△BCD为第二个等腰三角形…，则的值为；第n个等腰三角形的底边长为．（含有b的代数式表示）三、解答题（本小题共7个小题，共计47分）20．（6分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC ∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．21．（6分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．22．（6分）如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20米，斜坡AB 的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．23．（7分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的整数根．24．（7分）如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．（1）试说明：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝8，BE＝6，AD＝9，求BF的长．25．（7分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF 为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．26．（8分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．2019-2020学年河北省唐山市滦南县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有16个小题，在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，其中前10个小题每题3分，后6个小题每题2分，共42分）1． cos30°的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解： cos30°＝×＝．故选：C ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．为了解我校初二年级800名学生的体重情况，从中抽取了80名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）A ．800名学生的体重是总体B ．800名学生是总体C ．每个学生是个体D ．80名学生是所抽取的一个样本【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行选择即可．【解答】解：A 、800名学生的体重是总体，故本选项符合题意；B 、800名学生的体重是总体，故本选项不符合题意；C 、每个学生的体重是个体，故本选项不符合题意；D 、80名学生的体重是所抽取的一个样本，故本选项不符合题意．故选：A ．【点评】本题考查了总体、个体与样本以及样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．3：4B ．4：3C ．：2D ．2：【分析】由△ABC ∽△DEF ，S △ABC ：S △DEF ＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC ∽△DEF ，S △ABC ：S △DEF ＝3：4，∴△ABC 与△DEF 的相似比为：：2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为：：2．故选：C ．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方． 4．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：则这15名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ）A ．6 h ，6 hB ．7 h ，7 hC ．7 h ，6 hD ．6 h ，7 h【分析】从15个学生体育锻炼的时间中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数．【解答】解：15名学生的锻炼时间从小到大排列后处在第8位的是6小时，因此中位数是6小时，6小时的出现次数最多，是6次，因此众数是6小时，故选：A ．【点评】考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数．5．已知＝，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用已知表示出x ，y 的值，进而代入原式求出答案．【解答】解：设x ＝5k ，y ＝2k （k ≠0），则＝＝，故选：B ．【点评】此题主要考查了比例式，正确表示出各未知数是解题关键．6．甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：则成绩发挥最不稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的定义，方差越大数据越不稳定，从而得出答案．【解答】解：由于S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，则成绩发挥最不稳定的是丁；故选：D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣2【分析】由一元二次方程的定义，可知2﹣a≠0；一根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a的值可求．【解答】解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴2﹣a≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．8．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5B．86.5C．90D．90.5【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．【解答】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．故选：A．【点评】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键．9．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣10）＝36﹣40＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2B．4C．3D．5【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴BE＝＝＝10，∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．11．（2分）下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（）A．2x2+x﹣2＝0B．x2+2x﹣2＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝0【分析】利用根与系数的关系进行判断．【解答】解：方程2x2+x﹣2＝0的两个实数根之和为﹣；方程x2+2x﹣2＝0的两个实数根之和为﹣2；方程2x2﹣x﹣1＝0的两个实数根之和为；方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根之和为2．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．12．（2分）已知α为锐角，tanα＝，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】根据tanα＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinα的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinα＝，tanα＝和a2+b2＝c2，由tanα＝知，设a＝3x，则b＝4x，结合a2+b2＝c2得c＝5x．∴sinα＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．13．（2分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，所以，夹直角的两边的比为＝2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．14．（2分）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据题意，可以计算出袋子中红球的个数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，袋子中红球的个数约为：20×＝6，故选：D．【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球的个数．15．（2分）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（）A．（4，3）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，4）【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而结合已知得出答案．【解答】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．16．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB×AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD＝AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④错误．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．二、填空题（本大题共3个小题，第17小题3分，第18、19小题每空2分，共计11分）17．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是7．【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到α2＝﹣2α+3，则α2﹣2β＝﹣2（α+β）+3，接着利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，∴α2+2α﹣3＝0，∴α2＝﹣2α+3，∴α2﹣2β＝﹣2α+3﹣2β＝﹣2（α+β）+3，∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的根，∴α+β＝﹣2，∴α2﹣2β＝﹣2×（﹣2）+3＝7．故答案为7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．18．（4分）如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，这时，测得岛屿P在其北偏西30°方向，则海监船到岛屿的最小距离是20km；保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为40 km．（结果保留根号）【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°＝20，∴PC＝2×20×＝40（km），故答案为：20；40．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB＝BC，推出∠C＝30°．19．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，做底角∠ABC的平分线BD交AC于点D，易得等腰△BCD，做等腰△BCD底角∠BCD的平分线CE，交BD于点E，得等腰△CDE，再做等腰△CDE底角∠CDE的平分线DF，交于CE于点F，…，若已知AB＝b，BC＝a，记△ABC为第一个等腰三角形，△BCD为第二个等腰三角形…，则的值为；第n个等腰三角形的底边长为．（含有b的代数式表示）【分析】先证△ABC∽△BCD，求出△BCD与△ABC的相似比为，求出第二个三角形的底边长为，依次推出第三个三角形…，第n个三角形即可．【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴AD＝BD＝BC，△ABC∽△BCD，∴＝，∵AB＝AC＝b，BC＝BD＝a，∴＝，∴a2+ab﹣b2＝0，∴a＝（取正值），∴＝，同理可证，第3个三角形与第2个三角形的相似比为，第3个三角形的底边长为（）2b……，第n个三角形与第（n﹣1）个三角形的相似比为，第n个三角形的底边长为（）（n﹣1）b，故答案为：；（）（n﹣1）b．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，图形变化规律的寻找等，解题关键是正确确定变化指数．三、解答题（本小题共7个小题，共计47分）20．（6分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC ∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．【分析】由图中不难得出，△ABC∽△ADE，利用对应边成比例即可求解线段DE的长度，从而求得树的棵数．【解答】解：如图由图可知，∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，∴，又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，∴AG＝AF+FG＝15米即，∴DE＝50，50÷2＝25，25+1＝26，答：DE处共有26棵树．【点评】考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的应用，能够求解一些简单的计算问题．21．（6分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为＝12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．22．（6分）如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20米，斜坡AB 的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．【分析】根据坡度的概念、勾股定理求出DF，根据坡度的概念求出AE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设CF＝x米，∵斜坡CD的坡度i＝1：2，∴DF＝2x，由勾股定理得，CF2+DF2＝CD2，即x2+（2x）2＝（20）2，解得，x＝20，∴CF＝20，DF＝40，由题意得，四边形BEFC为矩形，∴EF＝BC＝5，BE＝CF＝20，∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝20×2.5＝50，则AD＝AE+EF+DF＝50+5+40＝95（米），答：坝底宽AD的长为95米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．23．（7分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的整数根．【分析】（1）求出判别式的值为4（m﹣1）2≥0，据此可得答案；（2）先根据球根公式用m表示出x1、x2的值，再根据x1、x2均为整数即可得出m的值【解答】解：（1）∵△＝（﹣2）2﹣4m×（2﹣m）＝4﹣8m+4m2＝4（m2﹣2m+1）＝4（m﹣1）2≥0，∴不论m为何值时，方程总有实数根；（2）∵（x﹣1）（mx﹣2+m）＝0，∴x1＝＝1﹣，x2＝1．要使x1，x2均为整数，必为整数．∴当m取±1、±2时，x1，x2均为整数．当m＝1时，△＝4（m﹣1）2＝0，此时方程有两个相等的实数根，不符合题意，舍去；∴m的值为﹣1和﹣2，2．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．24．（7分）如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．（1）试说明：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝8，BE＝6，AD＝9，求BF的长．【分析】（1）可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD；（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB 的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D+∠C＝180°，AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED．∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠D+∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD；（2）∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB．∴∠ABE＝90°，AB＝8，BE＝6，∴AE＝10，∵由（1）知，△ABF∽△EAD，∴∴BF＝【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．25．（7分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF 为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．【分析】（1）根据正切的定义用a表示出AH，根据等腰直角三角形的性质计算；（2）根据题意列方程求出a，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．（8分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为：﹣2，1；（2）＝x，方程的两边平方，得2x+3＝x2即x2﹣2x﹣3＝0（x﹣3）（x+1）＝0∴x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1，当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程＝x的解是x＝3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP＝，CP＝∴+＝10∴＝10﹣两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2整理，得5＝4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4m．【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．。