第四章因式分解4.1 分解因式备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月教学目标:知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。

过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。

教学重难点：探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。

教学过程：创设情景，导出问题：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。

章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。

993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？探索交流，概括概念：想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。

小明是这样做的：（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除。

答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。

（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。

归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。

做一做：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）= ;（2）（y-3）2= ；（3）3x（x-1）= ；（4）m（a+b+c）= .根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）（2）m2-16=（）（）（3）ma+mb+mc=（）（）（4）y2-6y+9=（）（）通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

议一议：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

教师指出因式分解的要求：（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。

课堂练习：（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1C．a2b+ab2=ab（a+b）D．（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。

（3）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．a2-b2=（a+b）（a-b）课堂小结：想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？课外作业：资源与评价板书设计：因式分解定义：因式分解与整式乘法的关系：教学后记：学生接受很好，在做些变式练习。

4.2 提公因式法备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月教学目标：知识与技能：经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

过程与方法：会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

情感态度与价值观：进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

教学重难点：教学重点用提公因式法把多项式分解因式教学难点探索多项式因式分解方法的过程教学过程：第一课时创设情景，导出问题：张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。

他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。

关于这一问题给出了各自的做法。

方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）请问：两种计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。

2、探索交流，概括概念（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。

讨论概括：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。

如b就是多项式ab+bc的公因式。

同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。

（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

巩固应用，拓展研究：例1 将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？练习巩固，促进迁移：（1）写出下列多项式的公因式：①ma+mb ②4kx-8ky ③5y3+20y2④a2b-2ab2+ab （2）把下列各式分解因式：①3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m（3）利用分解因式计算：①33×0.48+85×0.48-18×0.48②7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25课堂小结：这节课我们学了写什么？课外作业：资源与评价板书设计：提公因式定义：方法：例题教学后记：当第一项是负数时，注意改变符号。

第二课时一、课前热身，复习回顾：想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？做一做：1、下列用提取公因式法分解因式正确的是（）A、a3+2a2+a=a(a2+2a)B、-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)C6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D、a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)2、（-3）2005+（-3）2004等于3、把下列各式分解因式：①a（x-3）+2b（x-3）；②5（x-y）3+10（y-x）2。

③3x2-6xy+x ④-4m3+16m2-26m⑤4q（1-p）3+2（p-1）2⑥3m（x-y）-n（y-x）⑦m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）4计算：①已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；②1998+19982-199925、比较2002×20032003与2003×20022002的大小。

小结：想一想：这节课我们学了写什么？课外作业：资源与评价后记：理解因式分解的运用很广泛，会对具体问题具体分析。

4.3 运用公式法（平方差公式）教学目标：知识与技能：1、理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；2、会用平方差公式进行因式分解；3、使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。

过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．情感态度与价值观：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

教学重难点：用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数） 教学过程：复习回顾：填空：（1）（x+5）（x –5） = ；（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；（3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：_;____________________9__;____________________25222=-=-y x x探究新知：将多项式a 2—b 2进行因式分解：∵（a+b ）(a-b)= a 2—b 2整式乘法∴a 2—b 2=（a+b ）(a-b)因式分解结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。

这种分解因式的方法称为运用公式法。

说一说 ：找特征 ))((22b a b a b a -+=-(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。

(2)公式右边：（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试 ，写一写： 下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。

（1）M 2-81 （2）1-16b 2 （3）4m 2+9 （4）a 2x 2-25y 2 （5） -x 2-25y 2 例1：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 练习：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、把下列各式因式分解：例2、把下列各式因式分解：注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。

巩固练习：例3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形。

用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积。

如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm 和r cm ，求它们所围成的环形的面积。

如果R=8.45cm,r=3.45cm 呢？ 小结：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系； （3）平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；249)1(x +-22241)2(z y x -2212125.0)3(p q -1)4(4-p 2)2(254)1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2394)3(xy x -课后作业：资源与评价板书设计：平方差公式公式例题练习教学后记：探索分解因式的方法实际上是对整式乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识，多做练习。