例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 形.PB PD ，E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ;（n立体几何垂直总结1线线垂直的判断:线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断: 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

(2) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

(3) 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(4) 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

3、面面垂直的判断:一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法: 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是 AB的中点。

求证: （1）AB 平面 CDE;（ 2）平面 CDE 平面 ABC 。

BC 证明：（1） C AE AC BECE AB 同理，AD BD DE AB AE BE 又••• CE DE ••• AB 平面 CDE (2)由(1)有 AB平面CDE又••• AB平面ABC ，•••平面CDE 平面ABCCCP ABCD 的底面 是菱）求证：平面PAC 平例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中 ACB 90o,SA 面ABC,AD SC,求证：AD证明：••• ACB 90 °BC AC又SA 面ABC SA BC BC 面SACBC AD 又S C AD,S C BC C AD 面SBC B例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证:AE 平面PBC .证明：••• PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又••• AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角,BC AC.•••PAIAC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC .••• BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC .••• PA AC，点E是线段PC的中点.••• AE PC .•••PCIBC C , PC 平面PBC，BC 平面PBC .••• AE 平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD是等腰梯形，AB // CD，/ DAB= 60°，AE丄BD，CB= CD = CF.求证: BD丄平面AED; 证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，/ DAB =60°所以/ ADC =/BCD = 120°.又CB = CD，所以/ CDB = 30°,因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD.又AE 丄BD，且AEG AD = A，AE，AD?平面AED，所以BD丄平面AED.例6 （勾股定理的逆定理）如图7 —7—5所示，已知直三棱柱腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB= AA i, D、E、F分别为求证：（1）DE //平面ABC; （2）B i F丄平面AEF.BD A i C A i C 平面BC i D同理可证A i C BC i练习;1、如图在三棱锥P—ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：AP丄BC;例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD —A i B i C i D i 中, A i C±平面BC i D证明：连结AC••• BD丄AC ••• AC为A i C在平面AC上的射影C iA iCBD iI X !/X:--ABC—A1B1C1 中，△ ABC 为等B i A、C i C、BC 的中点.2、直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC= BC= 2AA1，D是棱AA i的中点，DC i丄BD.证明：DC i丄BC。

3.如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD =4.将△ CBD沿BD折起到△ EBD 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE;⑵求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA, 1，求点A到平面A1BC的距离。

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：（1）CD丄PD;⑵EF丄平面PCD.D6、如图7-5-9(1)，在RtAABC中，/ C = 90°, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ ADE沿DE折起到△ A I DE的位置，使A i F丄CD，如图⑵.(1)求证：DE//平面A i CB.⑵求证：A i F丄BE.⑶线段A i B上是否存在点Q,使A i C丄平面DEQ?说明理由.例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 形.PB PD ，E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ;（n立体几何垂直总结1线线垂直的判断: 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断: (1) 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

(2) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

(3) 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(4) 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

3、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法: 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是 AB的中点。

求证: （1）AB 平面 CDE;（ 2）平面 CDE 平面 ABC 。

BC 证明：(1) BCAE AC BECE AB 同理，AD BD DE AB AE BE 又••• CE DE••• AB 平面 CDE(2)由(1)有 AB 平面CDE又••• AB 平面ABC ，•••平面CDE 平面ABCCCP ABCD 的底面是菱）求证：平面PAC 平例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中 ACB 90o,SA 面ABC,AD SC,求证：AD证明：••• ACB 90 °BC AC又SA 面ABC SA BC BC 面SACBC AD 又S C AD,S C BC C AD 面SBC B例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆0在平面，AB是圆0的直径，C是圆0的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证:AE 平面PBC .证明：••• PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又••• AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角,BC AC.•••PAIAC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC .••• BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC .••• PA AC，点E是线段PC的中点.••• AE PC .•••PCIBC C , PC 平面PBC，BC 平面PBC .••• AE 平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD是等腰梯形，AB // CD，/ DAB= 60°，AE丄BD，CB= CD = CF.求证: BD丄平面AED; 证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，/ DAB =60°所以/ ADC =/BCD = 120°.又CB = CD，所以/ CDB = 30°,因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD.又AE 丄BD，且AEG AD = A，AE，AD?平面AED，所以BD丄平面AED.例6 （勾股疋理的逆疋理）如图7 —7—5所示，已知直三棱柱腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB= AA i, D、E、F分别为求证：（1）DE //平面ABC; （2）B i F丄平面AEF.练习;1、如图在三棱锥P—ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD —A i B i C i D i 中, A i C丄平面BC i D证明：连结AC••• BD丄AC ••• AC为A i C在平面AC上的射影BD A i C同理可证A i C BC i A i C平面BC i DC iA iCBD iI X !/X:--ABC—A1B1C1 中，△ ABC 为等B i A、C i C、BC 的中点.段AD上.证明：AP丄BC;2、直三棱柱ABC —A i B i C i中，AC= BC =尹儿，D是棱AA i的中点，DC i丄BD.(1)证明：DC i丄BC;证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA i的中点,又AC = 2AA i,可得DC2+ DC2= CC2,所以DC i 丄DC.又DC i丄BD, DCn BD= D，所以DC i丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DC i丄BC.3.如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60°, AB = 2, AD =4.将△ CBD沿BD折起到△ EBD 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE;⑵求三棱锥EABD的侧面积.(1)证明：在△ABD中,VAB = 2, AD = 4,/DAB = 60 °设F为AD边的中点，连接FB,•••/ABF为等边三角形,/AFB = 60 °又DF = BF = 2,AZBFD为等腰三角形.• /FDB = 30 ° 故/ABD = 90 :•••AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD,平面EBD n平面ABD = BD, AB?平面ABD,•••AB丄平面EBD.VDE?平面EBD,A AB± DE.(2)【解析】由(1)知AB丄BD, VCD //AB,A CD丄BD，从而DE丄BD.1在RtQBE 中，TDB = ^/a, DE = DC = AB = 2,A S ZDBE = Q DB DE = ^3.••AB丄平面EBD, BE?平面EBD,.・.AB丄BE.vBE= BC = AD = 4,•••SzABE = ^AB BE = 4...DE 丄BD,平面EBD丄平面ABD, A ED±平面ABD.而AD?平面ABD,A ED丄AD, A S ZADE=2AD DE = 4.综上，三棱锥EABD 的侧面积S= 8+ Rp.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA i 1，求点A到平面ABC的距离。