立体几何平行垂直问题【基础知识点】」、平行问题1.直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质、垂直问题、直线与平面垂直1 .直线和平面垂直的定义：直线I与平面a内的___________________ 都垂直，就说直线I与平面a 互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论平行问题的转化关系:面，那么另一条直线也垂直这个平面文字语言图形语言付号语言性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线②垂直于同一个平面的两条直线平彳 _____③垂直于同一条直线的两平面平彳 ______二、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2文字语言图形语言付号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC, AC BC, M为AB中点，D为PB中点，且△ PMB为正三角形。

（I）求证:DM // 平面APC ;（U）求证：平面ABC 平面APC ;（川）若BC 4，AB 20，求三棱锥 D 例2.如图，已知三棱柱ABC ABC,中，AC BC 2, AA 4 , AB 2.2 , M , N 分别是棱CC,, AB 中点•(I)求证：CN 平面ABB,A ；(U)求证：CN// 平面AMB,;(川)求三棱锥B, AMN的体积.【变式11 .如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA i平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC 90，且AB AA1 , D,E,F分别是点。

(1)求证：DE//平面ABC ;(2)求证：B1F 平面AEF ;(3)设AB a，求三棱锥D AEF的体积。

二、线面平行与垂直的性质例3、如图4,在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB 〃DC，△ PAD是等边三角形，已知BD 2AD 4，AB 2DC 2.5 .(1)求证：BD 平面PAD ；(2)求三棱锥A PCD的体积.例4、如图，四棱锥P—ABCD中, PD 平面ABCD底面ABCD为正方形，BC=PD=2 E为PC的中点，CG ^CB. (I )求证：PC BC ; (II )求三棱锥3C- DEG W 体积；(III ) AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCDABCD底面ABCD是直角梯形，/ BAD^Z AD G90°，AB= 2AD= 2CD= 2.(I)求证：AC 平面BBCQ; ( II) A1B上是否存一点P，使得DP与平面BCB B1B1A, CC1, BC与平面ACB都平行？证明你的结论4=«0、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图 若F 为PD 的中点，求证：AF 面PCD ； (1) 证明：BD //面 PEC ; (2) 求三棱锥E PBC 的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，1) o 现将 ADE 沿DE 折起，使得AE (I )求证：平面 ADE 平面ACD ；(II )试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比DVADCME：VMECB2： 1；(III )在点M 满足(II )的情况下，判断直线 AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由【变式3】一个四棱锥的直观图和三视 图如下图所示，E 为PD 中点.(I )求证：PB//平面AEC (II )求四 棱锥CPAB 的体积；(川)若F 为侧棱PA 上一点，且圧，贝V 为何值时，PA 平面BDF.FA【变式4】如图1所示，正 ABC 的边长为2a ，CD是AB 边上的高，E ，F 分别是AC, BC 的中点。

现将ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面 ACD 平面BCD4俯视图‘AB 3, DC 1, BADA semi4 侧视图EB (如图2),连AC, A…A,DE FE(如图2)4=«0(1) 试判断翻折后直线 AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2) 求三棱锥C-DEF 的体积。

四、立体几何中的最值问题例7.图4, A i A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A ， B 的任意一点，A i A= AB=2.⑴求证:BC 丄平面AAC;(2)求三棱锥A i -ABC 的体积的最大值.AC 于点D,现将 PDA 沿PD 翻折至 PDA ',使平面PDA '平面PBCD.(1) 当棱锥A ' PBCD 的体积最大时，求 PA 的长； (2) 若点P 为AB 的中点，E 为AC 的中点，求证：A 'B DE.【变式5】如图3,已知在 ABC 中，C 90 , PA 平面ABC AE PB 于E, AF PC 于F , AP AB 2, AEF ，当 变化时，求三棱锥 PA EF 体积的最大值。

高三文科数学专题复习：立体几何平行、垂直问题(答案)【典例探究】例1解：(I)： M 为AB 中点，D 为PB 中点， ••• MD // AP ，又二 MD 平面 APC ••• DM // 平面 APC(n) ：△ PMB 为正三角形,且D 为PB 中点，••• MD PB 又由(1)二知 MD AP,二 AP PB又已知AP PC 二AP 平面PBC ,例8.如图，在 ABC 中,B 石，AB BC2,P 为AB 边上 动点；〜PD//BC 交C 图4BMD••• AP BC，又T AC BC••• BC 平面APC ，二平面ABC 平面PAC ,(m)v AB 20 ,二 MB 10, A PB 10又 BC 4，PC .. 100 16,842. 21111--S BDC S PBC PC ? BC —24 44 2. 21 2. 211…V D BCM V M BCD ― SBDC ? DM-2. 21 35乜 10C 例2. ( I)证明：因为三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AA 1 底面ABC 又因为CN 平面ABC , 所以AA CN .(U)证明：取AB !的中点G ，连结MG , NG , 因为N , G 分别是棱AB ,AB !中点，1所以 NG//BB ,， NG BB 「 2又因为 CM // BB ,，CMBB ,， 2所以 CM // NG ，CM NG. 所以四边形CNGM 是平行四边形. ……分所以 CN//MG . ................................分因为CN 平面AMB 1，GM 平面AMB 1， (川)由(U)知 GM 平面 AB 1N .................................... 10分所以 V B , AMNV M ABN1 1 24-24................................. 13分3 223变式1. (1)根据中点寻找平行线即可； (2)易证AF B ,F ，在根据勾股定理的逆定所以CN//平面AMB 1 . 9分因为AC BC 2，N 是AB 中点, 所以CN AB.因为AA I ABA ， ...........所以CN 平面 ABB 1A 1 .、线面平行与垂直的性质• AD 2 BD 2 AB 2••• AD BDBD 平面 PAD .⑵解：过P 作P 。

AD 交AD 于o.又平面PAD 平面ABCD , PO 平面ABCD .••• △ PAD 是边长为2的等边三角形，•PO' 3理证明BF EF ; (3)由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 11到平面AEF 距离的-，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

2【解析】(1 )取AB 中点。

，连接CO, DO1 一 DO//AA 1,DO - AA 1, DO // CE , DO CE, 平行2DOCE , DE //CO, DE 平面 ABC , CO 平面 ABC , 面ABC 。

(4 分) (2)等腰直角三角形 ABC 中F 为斜边的中点， AFBCAF 面GB ,AFB1F 1 设AB AA 1 1, B 1F 兰EF2，又AF EF F, B 1F 面AEFB 1E 3B 1F 2 EF 2 B 1E 22， 2， 。

(8 分)D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 1到平面AEF 距离 B 1F EF B 1F「J fa ，所以三棱锥D AEF 的高为召；在RtAEF 中,3a, AF 2体积为1 — a 23 8EF 吕a ，所以三棱锥D AEF 的底面面积为 6 1 3 a a 。

4 16 a 2 ,故三棱锥D AEF 的(12 分)例3. (1)证明：在△ ABD 中,由于 AD 2, BD 4,AB 2：~5又平面PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCDAD ,BD 平面 ABCD ,由于点(3) 又 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , 面ABC 面BB 1C 1C ,四边形DE// 平由（1）知，AD BD ，在 Rt △ ABD 中,h空斜边AB 边上的高为AB 5例 4、(I )证明： PD 平面 ABCD PD BC 又••• ABCD 是正方形，二 BCLCD••• PDICE=D 二 BCL 平面 PCD 又••• PC 面 PBC 二 PC L BC（II ）解：：BC 丄平面PCD 二GC 是三棱锥 G-DEC 的高T E 是 PC 的中点， S EDC —S EDC — S PDC -(—2 2)12 2 2 2(III )连结AC ，取A C 中点0,连结EO GO 延长GC 交 AD 于点M 则PA//平面MEG下面证明之••• E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，二EO//平面PA又 EO 平面MEG, PA 平面MEG ，二PA//平面MEG 在正方形ABCC 中O 是AC 中点，OCG 也 OAM2 2AM CG, 二所求AM 的长为一33变式2.证明：（I ）直棱柱ABCDA 1B 1C1D 中，BB 丄平面ABCD ： BB L AC 又•••/ BAD ：/ AD(=90°, AB=2AD=2CD=2,••• AC= 2，/ CAB=45°,.・.BC= 2，二 BC 丄 AC又 BB G BC=B, BB , BC 平面 BBCC,： AC 丄平面 BBCC.(II)存在点P , P 为A 1B 1的中点。