中学数学——代数代数学是整个高中数学里最重要的内容，而函数又是代数学的基础，因此学好函数也就为学好代数学打好了坚实的基础。

函数思想一直是数学中的一种最重要的思想，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分。

而教师在进行函数教学时，最感头疼的是函数的图像，为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中，大多数教师都是用手工绘制函数图像，但手工绘制的函数图像有不精确、速度慢的弊端，且函数图像缺乏变化。

运用几何画板则能快速直观地制作出函数的图像，让学生能轻松领会较抽象的内容，从而大大提高课堂效率，起到事半功倍的效果。

目录实例29 一次函数实例30 二次函数图像的动态演示实例31 二次函数在闭区间上的值域实例32 函数的拟合工具实例33 圆周上的追及问题实例34 二分法求方程的根x的图像的关系实例35 函数y=a x的图像与y=loga实例36 用函数的观点研究等差数列前n项和的最值实例37 等比数列的图像（一）实例38 等比数列的图像（二）实例39 函数y= Asin(ωx+φ)的图像实例40 轨迹一边红、一边篮实例41 正弦函数线实例42 定积分意义的动态演示实例43 打造个性化的课件–148–实例29 一次函数【课件效果】如图2-78所示，在直线j上拖动点B，直线l的解析式y=1.54x+1.69的一次项系数发生改变，直线l的斜率随着系数的改变发生相应改变；在直线k上拖动点C，直线l 解析式的常数项发生改变，直线l随着点C的上下移动而移动。

图2-78 课件效果图【构造分析】1．技术要点◆度量点的（横、纵）坐标◆利用两个度量值（或计算值）绘制点◆轨迹的构造◆文本的合并2．思想分析本例要实现的效果是通过拖动点来改变函数解析式及其图象。

利用几何画板4可以直接度量点的横（纵）坐标的功能，得到点B和点C的纵坐标的值y B和y C ；把y B和y C 作为参数k和b，用于进行相关计算。

度量出x轴上的点D的横坐标x D，绘制出点（x D，kx D＋b），通过构造轨迹得到直线y = kx D＋b；最后利用文本合并的功能得到解析式y = kx＋b。

【制作步骤】1. 在坐标系上绘制图形（1）新建一个画板文件，选择【文件】|【保存】命令，将这个画板文件保存为“一次函数.gsp”。

（2）选择【图表】|【定义坐标系】命令，定义新的直角坐标系。

（3）给原点加注标签O，选择【图表】|【隐藏网格】命令，隐藏坐标系中的网格。

（4）单击【点工具】，在x轴上画出点D、E、F。

（5）依次选中点E、F和x轴，选择【构造】|【垂线】命令，同时构造出分别过点E、F和x轴垂直的两条直线j和k。

（6）（直线j和k为选中状态）选择【构造】|【垂线上的点】命令，在直线j和k 上同时构造出点B和点C，如图2-79所示。

图2-79建立坐标系构造x轴垂线上的点2．度量所需参数（1）（点B、C为选中状态）选择【度量】|【纵坐标（Y）】命令，度量出点B、C的纵坐标y B和y C。

（2）单击【文本工具】，分别把y B和y C的标签改为k和b。

（3）选中点D，选择【度量】|【横坐标（X）】命令，度量出x D。

（4）选择【度量】|【计算】命令，打开【新建计算】对话框，依次单击k = **、*、x D = **、＋、b = **，单击【确定】按钮，计算出k·x D＋b = **，如图2-80所示。

–149––150–图2-80度量和计算出所需参数3. 构造轨迹（1）依次选中x D=**、k·x D＋b= **，选择【图表】|【绘制（x，y）】命令，画出点G。

（2）同时选中点D、G，选择【构造】|【轨迹】命令，作出点G的轨迹，如图2-81所示。

图2-81构造轨迹4．建立动态解析式（1）单击【文本工具】，分三次做出文本框y =、x＋（、）。

（2）依次选中y =、k =**、x＋（、b =**、），选择【编辑】|【合并文本（M）】命令，把所选五个文本合并。

（3）隐藏不必要的对象，并添加必要的文本说明，最后效果如图2-78所示。

–151–【课件总结】在几何画板4版本中，不仅可以度量点的坐标，还可以直接度量点的横坐标和纵坐标。

可用度量值作参数，使用文本合并功能建立动态解析式。

本例中的直线是利用构造轨迹得到，另外还可以利用【图表】|【绘制新函数】命令直接绘制。

实例30 二次函数图像的动态演示【课件效果】本课件实现了用参数动态控制函数的解析式及其图象的变化，适用于初中二次函数的教学。

使用时可单击选中参数a 、h 或k ，然后按数字键盘的“＋”、或“－”键，此时函数解析式及其图像会随着参数值的改变而改变；也可以双击参数后直接输入参数值来改变函数解析式及其图象；还可以单击按钮动态演示函数图象随函数解析式的变化进行变化的过程。

如图2-82所示，是本课件实例的运行效果。

图2-82 课件效果图【构造分析】1．技术要点◆ 用【图表】|【绘制新函数】命令绘制含参数的函数图象◆ 用【编辑】|【合并文本】命令建立动态解析式◆ 【参数】的动画设置2．思想分析本例所构造的函数解析式中的系数会随着外部数据的变动而变动，同时函数的图象–152–也进行相应的变化。

动态展示了函数解析式中系数的变化对函数图象的影响，使本来抽象的函数知识变得直观形象。

本例中动态解析式的实现归功于新版中参数的出现，以及文本合并功能的增加。

几何画板版本4中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值，它的建立不依靠具体的对象。

本例在【图表】|【绘制新函数】命令时，直接在函数编辑器中建立了带参数的解析式。

这样解析式建立后，在工作区中显示解析式的同时绘制出该函数的图象。

更重要的是解析式中所含的参数也独立显示在工作区中，更妙的是独立的参数和解析式中作为系数的参数是一体的，即改变独立的参数的同时，解析式中系数相应改变，而由这个解析式生成的函数图象也随着解析式的改变而改变。

那么参数如何建立？如何对它进行动态控制？动态解析式如何合并生成？还是让我们看看具体的制作步骤吧！【制作步骤】1. 绘制函数的图象（1）新建一个画板文件，选择【文件】|【保存】命令，将这个画板文件保存为“二次函数图像的动态演示.gsp”。

（2）选择【图表】|【绘制新函数】命令，打开【新建函数】对话框，单击【数值】按钮，选择【新建参数】命令，打开【新建参数】对话框，在【名称】栏输入a，单击【确定】按钮，新建参数a= 1.00，依次单击*、（、x、－，单击【数值】按钮，新建一个参数h=1.00，单击）、^、2、＋，单击【数值】按钮，新建一个参数k=1.00，如图2.83a所示，单击【确定】按钮，做出函数f（x）= a(x-h)2+k及其图象，如图2-83b所示。

ab图2-83 绘制出函数图像说明：这时任选工作区中的参数a、h、k，可通过按键盘上的“＋”或“－”号键来增加或减小所选参数的值，随着参数值的变化，函数图象也会随之改变。

2．动态解析式的建立（1）单击【文本工具】，制作出y=、[x-(、)]2+三个文本块。

注意：每一部分是独立的一块。

（2）依次选中y= 、a=**、[x-(、h=**、)]2+、k=**，选择【编辑】|【文本合并】命令，把几个文本合并成一个解析式。

注意：这里有些地方加上小括号，是为了当参数变成负数时符合运算规则。

（4）右击合并的文本，选择【属性】命令，打开【文本的属性】对话框，单击【父对象】按钮，选择“参数a”；这时属性对话框变为【参数a的属性】，按图2-84所示设置，单击【确定】按钮，将参数a显示出来。

–153––154–图2-84设置参数a的属性（5）参照上面的方法，将参数h、k也显示出来，最后效果如图2-85所示。

图2-85 显示参数3．动态按钮的建立（1）选中参数a，选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令，打开【操作类按钮运动参数的属性】对话框，按图2-86所示设置，单击【确定】按钮，做出【运动参数】按钮。

（2）右击【运动参数】按钮，选择【属性】命令，将按钮标签改为“动态a”。

（3）参照上面的方法，制作出【动态h】和【动态k】按钮。

（4）隐藏不必要的对象，添加必要的文字说明，并调整相应对象的位置，最终效果如图2-82所示。

【课件总结】用参数构造的函数解析式，可以通过参数的改变来控制解析式的改变，进而控制函数图象的改变。

动态解析式的实现生动直观的揭示了函数的性质以及函数图象的变化规律，在教学实践中取得了非常好的效果。

本例虽只给出了y = a ( x –h )2+ k 的图象的具体制作步骤，但相信您通过学习本例可以研究更加复杂的函数的动态图象及其解析式的制作。

相关内容可去查看实例31 二次函数在闭区间上的值域【课件效果】二次函数在闭区间上的值域是高中数学教学的重点，也是一个教学上的难点。

传统教学的局限性在于黑板上的图象不可动，区间也不可动，这就造成了学生思维上的障碍。

本课件不仅能方便灵活地使区间和图像动起来，而且能动态地显示闭区间上的最大值和最小值及顶点和区间端点处的函数值。

学生利用该课件可自主地改变a，b，c的值和区间的端点A，B，通过观察最值与y A，y B，y顶点的比较，很好地掌握二次函数在闭区间上的值域的求法，课件效果如图2-86所示。

–156–【构造分析】1．技术要点◆构造动态图像和动态区间◆利用符号函数判断对称轴是否在闭区间内及比较大小2．思想分析本课件的的制作关键之处有四：（1）用符号函数判断对称轴是否在区间内。

其计算的表达式为：|sgn(sgn()sgn())|22A Bb bp x xa a=+-+，当x A和x B同时大于或小于2ba-时取0，表示对称轴不在区间内；当x A和x B有且只有一个大于2ba-时取1，表示对称轴在区间内。

（2）利用符号函数比较y A和y B的大小。

y A和y B中的较大者计算表达式为：1(*(1sgn())*(1sgn()))2A A B B A Bq y y y y y y=+-+--；y A和y B中的较小者计算表达式为1(*(1sgn())*(1sgn()))2A A B B A Br y y y y y y=--++-；（3）判断a的正负。

其计算表达式为s=sgn(a)，当a>0时取1，当a<0时取—1。

（4）确定最大值和最小值。

最大值计算表达式为max(*((1)/2)()*((1)/2))*(1)*2bq s f s p p qa=++--+-；最小值计算表达式为mi n(()*((1)/2)*((1)/2))*(1)*2bf s r s p p ra=-++-+-。

即当a>0（s=1）且对称轴在区间内（p=1）时，最大值为q，最小值为()2bfa-，当a>0（s=1）且对称轴不在区间内（p=0）时，最大值为q，最小值为r；当a<0（s= —1）且对称轴在区间内（p=1）时，最大值为()2bfa-，最小值为r，当a<0（s= —1）且对称轴不在区间内（p=0）时，最大值为q，最小值为r。