解三角形[前言]1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不 三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小； 等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判 求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是 段三角形构成的条件；借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角 长度，正是“解铃还须系铃人”； 与边，但体现的是不等关系；④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条： 角形适用；①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解三角形的范畴③大角对大边，小边对小角； 综括上述性质的特征：④勾股定理：a 2+b 2=c 2； 解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形 角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等，三个角相等； 质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三 和等等； 角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以 比较上述性质： 是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题；[正弦定理]1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即a sinA =b sinB =c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个∆ABC 中，均有：对于任意一个三角形，对边与对角正弦的比值是 三角形外接圆的直径，借助于正弦定理可求三角 形外接圆的半径. 3.正弦定理的变形：正弦定理建立了对角与对边 间的关系，通过正弦定理可实现角与边的转换. 使用该变形，可将边转化为角，已知条件随之体 现为角与角间的关系；处理角间的关系，需要与内角和定理、两角和差公式、二倍角公式等配套 应用.使用该变形，可将角转化为边，已知条件也转化 为边与边间的关系；处理边间的关系，往往应用 余弦定理.4.一些常见的结论：①在∆ABC 中，三内角A 、B 、C 间有以下关系： sinA =sin (B +C) sinB =sin (A +C) sinC =sin (A +B)cosA =−cos (B +C) cosB =−sin (A +B) cosC =−cos (A +B)②在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 与对边a 、b 、c 间有以下关系：sinA:sinB:sinC =a:b:c a+b+c sinA+sinB+sinC =2R ②根据内角和定理求第三角.需分两种情况：其一 若已知角与所求角以具体的度数形式表示，则第 三角也以度数形式表示大小；其二，若已知角与所 求角至少有一个以三角函数值的形式表示，则第三 角也将以三角函数值的形式表示，优先选择求第三 角的正弦值，同时需要借助两角和差公式； ③再结合正弦定理求出第三边的长度.【例1】(2018∙南通市高三二调)在∆ABC 中，已知AB =1，AC =√2，B =45°，则BC 的长为_________. 解析：由正弦定理可得：ABsinC =ACsinB 即1sinC =√2sin45° 所以sinC =12因为C ∈(0°，180°) 所以C =30°或150°当C =150°时，B +C =195°>180°(舍去) 所以C =30° A =105° 由正弦定理得：AC sinB =BCsinA =2 所以BC =2sin105°=√6+√22【例2】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且A =π4，a =6，b =8，则c =( )A.4√2−2或4√2+2B.4√2−2C.4√2+2D.4 解析：由正弦定理可得：a sinA=b sinB即sinB =2√23∵ sin 2B +cos 2B =1 ∴cosB =±13当cosB =13时，∵A +B +C =π∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4+√26由正弦定理可得：a sinA =csinC即c =6√2sinC =4√2+2 当cosB =−13时，∵A +B +C =π ∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4−√26由正弦定理可得：a sinA =c sinC√2sinC √2题型二 两角一边解三角形 已知条件为两角一边模式，采用正弦定理解三角形； 相较与两边一角解三角形(存在对角对边关系)，难度 要低些，且只有一组解. ①利用内角和定理求出第三角.分两种情况，若已知 两角的度数，所求为第三角的度数；若已知两角的三 角函数值，所求为第三角的三角函数值，优先考虑角 的正弦值，若为余弦值或正切值，需利用同角三角函 数关系式转化为正弦值，注意，作为内角，其正弦值 一律取正； ②根据正弦定理，求出余下两边的长度. 【例3】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，cosC =513，a =1，则b =____________.解：∵ cos 2A +sin 2A =1且cosA =45∴sinA =35 或sinA =−35(舍)同理可得：sinC =1213∵A +B +C =π ∴sinB =sin (A +C)即sinB =sinAcosC +cosAsinC =6365 由正弦定理可得： asinA=bsinB 故b =2113 答案：2113题型三 角边互换思想的应用利用内角和定理及诱导公式、两角和差公式消角； 消角时尽量选择相对独立的角. 【例4】[2016∙高考全国卷乙]∆ABC 的内角A ，B ，C 的 对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (acosB +bcosA ) =c ，求角C .解析：由正弦定理可知：a =2RsinA ，b =2RsinB c =2RsinC ∵ 2cosC (acosB +bcosA )=c ∴2cosC (sinAcosB +sinBcosA )=sinC 即2cosCsin (A +B )=sinC ∵A +B +C =π ∴sin (A +B )=sinC∴2cosCsinC =sinC ∵sinC >0(内角的正弦值为正) ∴cosC =12 故C =π3【例5】已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，asinA +csinC −√2asinC =bsinB ,求角 B .解析：角边互换中，若将边化为角，则次数将为 二次，正弦定理中次数为1，余弦定理中次数为二 次，选择将角化边使用余弦定理解题.由正弦定理知：sinA =a2R ，sinB =b2R ，sinC =c2R ∵asinA +csinC −√2asinC =bsinB∴ a 2+c 2−√2ac =b 2 即a 2+c 2−b 2=√2ac∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =√2ac2ac =√22∴B =π4Cb a h aA D B一种情况是将高逆时针旋转所得∆ABC一种情况是将高顺时针旋转所得∆ADC④若角A的对边大于角A的邻边即a≥b>bsinA，只有一解，如图所示：b h aA另外一种情况如虚线表示，已将角A由内角变为外角不合题意故舍去.当角A为钝角时，若角A的对边大于邻边则有一解否则无解.【例6】不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a=5，b=4，A=120°；(2)a=7，b=14，A=150°；(3)a=9，b=10，A=60°.解析：(1)∵A为钝角且a>b∴ 满足条件的三角形只有一个；(2)∵A为钝角且b>a∴根据大角对大边应有B>A一个三角形中不会有两个钝角故无解；(3)角A所对的高h=bsinA=10sin60°=5√3∵5√3<a<b ∴ 满足条件的三角形有两个.【模拟练习】1在∆ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2ccosA+a=2b，则角C=____________.2在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c;若acosB+bcosA=csinA，则∆ABC的形状为_________.3.在∆ABC中，a=3，b=2√6，B=2A，则C=____.4.已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cosA+2sinC，则角A=________.5.在∆ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则∠C的值为________.6.[江苏省苏锡常镇四市2018届调研]设三角形∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−bb，则cosA=_________.。