导数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. (I )讨论()f x 的单调性;(II )当1a =时,证明()3()'2f x f x +>对于任意的[]1,2x ∈成立.1. 高考命题回顾例1.已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.例2.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.例3.(本小题满分12分)已知函数f (x )=31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ,讨论h (x )零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数0a >,函数2()ln(1).2x f x ax x =+-+ (Ⅰ)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;(Ⅱ)若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围.例5已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.例6已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间;(2)若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值。
例7已知函数ln ()1a xbf x x x =++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x>+-,求k 的取值范围。
例8已知函数f(x)=(x 3+3x 2+ax+b)e -x .(1)若a =b =-3,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.2. 在解题中常用的有关结论※3. 题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数,最值定位)(分类讨论,区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换)例1(切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值;(2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21.例2(最值问题,两边分求)已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R . ⑴当12a ≤时,讨论()f x 的单调性; ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围.②交点与根的分布例3(切线交点)已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.⑴求函数()f x 的解析式;⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.例4(综合应用)已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=⑴求f (x )在[0,1]上的极值; ⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围;⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围.③不等式证明例5 (变形构造法)已知函数1)(+=x a x ϕ,a 为正常数.⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=,且a29=,求函数)(x f 的单调增区间; ⑵在⑴中当0=a 时,函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ,()22,y x B ,线段AB 的中点为),(00y x C ,记直线AB 的斜率为k ,试证明:)(0x f k '>.⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=,且对任意的(]2,0,21∈x x ,21x x ≠,都有1)()(1212-<--x x x g x g ,求a 的取值范围.例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .(1)若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当1=a 时,设函数x x f x g )()(=,若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ,求证42121)(x x x x +<例7(绝对值处理)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值.(I )求实数a 的取值范围;(II )若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f .例8(等价变形)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R .(Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数;(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立,求实数b 的取值范围;(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时,试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小.例9(前后问联系法证明不等式)已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<,直线l与函数(),()f x g x 的图像都相切,且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。
(I )求直线l 的方程及m 的值;(II )若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数,求函数()h x 的最大值。
(III )当0b a <<时,求证:()(2).2b a f a b f a a -+-<例10 (整体把握,贯穿全题)已知函数ln ()1x f x x=-. (1)试判断函数()f x 的单调性; (2)设0m >,求()f x 在[,2]m m 上的最大值;(3)试证明:对任意*n ∈N ,不等式11ln()e n n n n++<都成立(其中e 是自然对数的底数). (Ⅲ)证明:2121111n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+.例11(数学归纳法)已知函数()ln(1)f x x mx =++,当0x =时,函数()f x 取得极大值.(1)求实数m 的值;(2)已知结论:若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在,且1a >-,则存在0(,)x a b ∈,使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明:若121x x -<<,函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-,则对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >;(3)已知正数12,,,n λλλL ,满足121n λλλ+++=L ,求证:当2n ≥,n N ∈时,对任意大于1-,且互不相等的实数12,,,n x x x L ,都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .④恒成立、存在性问题求参数范围例12(分离变量)已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).(1)若2-=a ,求证:函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数;(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值;(3)若存在],1[e x ∈,使得x a x f )2()(+≤成立,求实数a 的取值范围.例13(先猜后证技巧)已知函数x x n x f )1(11)(++=(Ⅰ)求函数f (x )的定义域(Ⅱ)确定函数f (x )在定义域上的单调性,并证明你的结论.(Ⅲ)若x >0时1)(+>x k x f 恒成立,求正整数k 的最大值.例14(创新题型)设函数f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.例15(图像分析,综合应用)已知函数)1,0(12)(2<≠++-=babaxaxxg,在区间[]3,2上有最大值4,最小值1,设() ()g xf xx=.(Ⅰ)求ba,的值;(Ⅱ)不等式2)2(≥⋅-xx kf在]1,1[-∈x上恒成立,求实数k的范围;(Ⅲ)方程)3|12|2(|)12(|=--+-xx kf有三个不同的实数解,求实数k的范围.⑤导数与数列例16(创新型问题)设函数2()()()x f x x a x b e =-+,a b R ∈、,x a =是()f x 的一个极大值点.⑴若0a =,求b 的取值范围;⑵当a 是给定的实常数,设123x x x ,,是()f x 的3个极值点,问是否存在实数b ,可找到4x R ∈,使得1234x x x x ,,,的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234i i i i ,,,={}1234,,,)依次成等差数列?若存在,求所有的b 及相应的4x ;若不存在,说明理由.⑥导数与曲线新题型例17(形数转换)已知函数()ln f x x =, 21()2g x ax bx =+(0)a ≠. (1)若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数ϕϕ2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值;(3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例18(全综合应用)已知函数()1ln (02)2x f x x x=+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑,其中*n ∈N ,求2013S ; (3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围.⑦导数与三角函数综合例19(换元替代,消除三角)设函数2()()f x x x a =--(x ∈R ),其中a ∈R .(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程;(Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的极大值和极小值;(Ⅲ)当3a >, []10k ∈-,时,若不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值。