2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】
1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。

2、平面向量积的重要性质及运算律。

【考纲要求】
1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

【学习目标叙写】
1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；
2、会用向量数量积的公式解决相关问题；
3、记住数量积的几个重要性质。

【使用说明与学法指导】
先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。

【预习案】
问题1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量；
结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？
问题2：向量的数量积（或内积）的定义
已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作
a b ⋅，
即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）
说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。

② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a
，OB ＝b ，
则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b
的夹角（两向量必须是同起点）
注意：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b
反向；
当θ＝2
π
时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；
③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。

思考：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？
数量积的符号由cos θ的符号所决定，完成下表：
θ的范围 0°≤θ<90°
θ=90° 0°<θ≤180°
a ·
b 的符号
问题3：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos a θ叫做向量a 在b 方向上的投影；cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影.
说明：如图，1cos OB b θ=. 向量投影也是一个数量，不是
向量；
当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；
当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ＝９０︒时投影为0；当θ = 180︒时投影为 -|b
| 作图：
（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的
投影︱b ︱cos α 的乘积。

问题4：由定义得到的数量积的性质。

设a 和b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则
⑴当a 与b 垂直时，90θ=，即a b a b ⊥⇔⋅= ； ⑵当a 与b 同向时，0θ=，a b ⋅= ；
当a 与b 反向时，180θ=，a b ⋅= ； ⑶当a b =，即a a ⋅= ，或a = ； ⑷cos θ =
||||
a b
a b ⋅ ⑸因为cos 1θ≤，所以a b ⋅ a b . 【探究案】
例：已知a =5，b =2，a 与b
的夹角为 120，求()()
23a b a b +•-的值.
变式：已知向量a 与b
的夹角为 120，且a =4，b =2，求： (1) a b + ;(2) 34a b -
1.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠=，则AB AD ⋅为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8
2.若a b •<0，则a 与b
的夹角θ的取值范围是（ ）
A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3. a =4，a 与b
的夹角为 30，则a 在b 方向上的投影为 .
【训练案】
选作：已知a b ⊥，且a =2，b =1，若对两个不同时为零的实数,k t ，使得
(3)a t b +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值.
【二次备课】。