球习题精选精讲球面距离的计算经典范例1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为．2．位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。

对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB 中求∠AOB。

下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。

地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A 的球面坐标为A （经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。

设地球半径为R ，球面上两点A 、B 的球面坐标为A （α1，β1），B （α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-2π，2π]，如图，设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点，过B 的经线与赤道交于D 点。

设地球半径为R ；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。

另外，以O 为原点，以OC 所在直线为X 轴，地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ （如图）。

则A （Rcos β1,0,Rsin β1）,B(Rcos β2cos （α1-α2）,Rcos β2sin （α1-α2）,Rsin β2)cos ∠AOB =cos 〈OA ，OB 〉=cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。

于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：⋂AB =R ·arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] （I ）上述公式推导中只需写出A ，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。

由公式（I ）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB ，只需两点的经纬度即可。

公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A 、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为：B A )=R ·arcos[cos 2βcos （α1-α2）+sin 2β] （II ）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：B A )=R ·arcos （cos β1cos β2+sin β1sin β2）=R ·arcoscos （β1-β2） （III ）例1、 设地球半径为R ，地球上A 、B 两点都在北纬45º的纬线上，A 、B 两点的球面距离是3πR ，A 在东经20º，求B 点的位置。

分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II ）得：3πR= R ·arcos[cos 245ºcos （20º-α2）+sin 245º] cos 3π=21cos （20º-α2）+21∴cos （20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º 所以B 点在北纬45º，东经110º或西经70º球1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________． 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径32=r ，∴ 23=r ．球体积．π2323π34π3433=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⋅r V2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A 、B ，A 、B 的球面距离是________（设地球半径为R ）． ．设球心为O ，∵ A 、B 在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB ＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ 2π=∠AOB ，∴ A 、B 的球面距离为R 2π． 3．设正方体的全面积为2cm24，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）． A ．34 π 3cm B ．38 π3cm C ．332 π3cm D ．6 π 3cm A ．由正方体全面积为2cm 24，则棱长为2cm ，内切于正方体的球的直径为2cm ，则球的半径为1，其体积为π341π343=⋅．3cm 4．一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为2cm ，则球的表面积为（ ）．A ．8π2cm B ．12π2cm C ．16π 2cm D ．20π 2cm ．B ．球的直径与正方体的对角线长相等，∴232⋅=R ，∴ 3=R ，球表面积π12)3(π42==⋅S ．)(cm 25．设地球半径为R ，在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长是2πR，则这两地的球面距离是（ ）．A ．R 43 B ．R 3π C ．R 57D ．R 2．B ．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O '，球心为O ，则260cos R R B O A O =︒='='⋅，∵ A 、B 在纬度圈上的弧长为R 2π，则π212π=='∠R RB O A ，∴ A 、O '、B 三点共线，∵ OA ＝OB ，︒='∠60AO O ，∴ △AOB 是正三角形，∴ 3π=∠AOB ，∴ A 、B 的球面距离等于R 3π．6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（ ）． A ．1∶33B ．1∶22C ．1∶383D ．1∶42．A ．设正方体的棱长为2a ，则其内切球半径为a ，外接球半径为a 3，二球体积比为．331)3(1)3(π34π34333:==⋅⋅a a7．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝BC ＝2cm ，cm 22=AC ，球心O 到截面ABC 的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵ A 、B 、C 是球面上三点，∴ OA ＝OB ＝OC ．设截面圆圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，∴ C O B O A O 111==，∴ 1O 是△ABC 的外接圆圆心．∵ AB ＝BC ＝2，22=AC，∴ 222AC BC AB =+，∴ ∠ABC 是直角．在△O AO 1中，︒=∠901A OO，21=A O ，21R OO =，OA ＝R ，∴ 有2222)2(R R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得382=R ，362=R ，球体积π27664362π343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅V ．)cm (38．半径为1的球面上有三点A 、B 、C ，其中A 和B 、A 和C 的球面距离为2π，B 和C 的球面距离为3π，求球心到平面ABC 的距离． 3．设球心为O ，由球面距离的定义可知2π=∠AOB ，2π=∠AOC ，3π=∠BOC ．∵ OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∴ OA ⊥平面BOC ．∴ 三棱锥O －ABC 的体积12314331==⋅⋅V．在△ABC 中，2=AB, 2=AC ,BC ＝1，取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，21=MB ，27=AM ．设点O 到平面ABC 的距离为h ，∵BOC A ABC O V V --=，∴1232131=⋅⋅⋅h BC AM ，∴ 72173==h ．即点O 到平面ABC 的距离为721．球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r R d =-22，（计算公式）（3）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。

9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。

解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP ，设球心为O ，PC 为圆锥的高，取出球后，水面为EF ，其高度为PH ，连结OC 、OA 。

则OCr OA r AB r PC r ====，，，2233 ∴V BC PC r P ABC -==13323ππ·∵V r 球=433π。

∵V r 球=433π， ∴V V V r P EF P ABC 锥锥球--=-=533π 又∵PH PC V V P EF P ABC 3359==--锥锥∴PHPC r PH r 3333591515===，∴。

故取出球后水面高为153r 。

10. 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球的半径为R ，求A 、B 两点的球面距离。

分析：要求A 、B 两点间球面距离，要把它放到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数，AB 的长度，就可求球面距离。

解：设北纬45°圈的圆心为O'，地球中心 为O ，则∠AO'B=160°－70°=90°∠OBO'=45°，OB=R ∴O R AB R AO AB 'B =O'A =22，，连结、= 则AO BO AB R AOB ====，∴∠°60 ∴AB R R ⋂==16213·ππ 故A 、B 两点间球面的距离为13πR 。