2 656.824 1 846.988 1 616.684 1 730.563 11 303.970 14 019.790 9 277.172 13 684.750 1 949.164 4 846.016 521 457.400 564 370.800
298.473 179.866 172.808 172.143 881.042 638.176 862.088 712.787 228.403 324.481 7 393.938 12 212.410
求解
① 根据有关研究，景观斑块面积与周长关系可 用双对数关系拟合：LnA = t1*lnP + t2 y = ln A x = ln P ② 作变量替换，令 ，将表中原始数 据进行对数变换，变换后得到的各新变量对 应的观测数据如表。
序号 1 2 3 4 5 6 7 y=lnA 9.254 106 9.678 763 10.340 99 9.153 019 9.292 742 9.977 338 8.838 07 x=LnP 6.438 379 6.417 2 6.653 782 6.273 258 7.552 816 7.168 551 6.033 226 序号 42 43 44 45 46 47 48 y=lnA 12.358 13 8.307 622 10.336 37 7.508 433 10.176 19 9.515 909 11.091 18 x=LnP 8.362 186 5.667 487 6.797 918 5.323 65 6.875 294 6.951 841 7.718 879
0.8
(a>0 and b>0)
0.6
20
y
y
0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25
0
-20
-40
x
0
5
10
15
20
25
(2)
幂函数
（3）指数函数1
（4）指数函数2
（5）对数函数
（6）Logistic生长曲线
内线性模型应用的特征
关键：确定变量与x间的曲线关系的类型。
9 首先需利用有关专业知识 9 若没有已知的理论规律和经验可资利用，则可用 描点法将实测点在直角坐标纸上描出，观察实测 点的分布趋势与哪些已知的函数曲线最接近。 9 多项式拟和，最后不得以的选择。
1 946.184 77.305 7 977.719 19 271.820 8 263.480 14 697.130 4 519.867 13 157.660 6 617.270 4 064.137 5 645.820 6 993.355 4 304.281 6 336.383 2 651.414
198.661 56.902 715.752 1 011.127 680.710 1 234.114 326.317 1 172.916 609.801 437.355 432.355 503.784 267.951 347.136 292.235
数据－续 1 597.993 58
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
3 638.766 58 5425.100 35 220.640 10 067.820 27 422.570 43 071.550 57 585.940 28 254.130 497 261.000 24 255.030 1 837.699 1 608.625
F Significance F 11.7 0.0188
预测：7月均温28度时的棉铃虫历期（天）
1 b = a + y x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ y = y = y = y = x ax + b 0 . 0688 0 . 0688 x x − 1 . 0947 x x − 1 . 0947 28 × 28 − 1 . 0947
y = 1.505 x − 0.505 7
x与y的相关系数R=0.9665。 ⑥ 将上式还原成双对数曲线，即:
ln A = 1 . 505 ln P − 0 . 5057
700000 600000 面积（m ） 500000 400000 300000 200000 100000 0 0 2000
一元非线性回归
1. 非线性问题 2. 回归模型分类 3. 常用内线性模型及其线性化方法 4. 内线性模型求解 5. 内线性模型评价
1. 非线性问题 小动物喂养试验：小动物重量增量 y 与小动物每日喂食量 x 之间建立模型。
a) 响应变量y可能被限制下界，而下界是不喂食动物 的生长增量； b) 响应变量也可能由喂食引起的某些生物的最大生长 增量而被限制上界； c) 喂食量刚开始增加时，重量增加可能增加较快，以 后减慢。
内线性模型应用需注意的几个方面
① 优先考虑线性模型。 ② 关键－选择合适内线性模型：选择恰 当，就相当于成功了一半。 ③ 内线性模型，通过某种数学转换转换成 线性模型（线性化），其数学转换方法 针对不同的模型形式而不尽相同。 ④ 内线性模型线性化求解，其结果如决定 系数、残差平方和等一般是相对线性化 后的模型。
4. 内线性模型求解
43 42 41 40 历期(天) 历期 (天) 拟和历期(天) 39 39 37 37
实例：棉铃虫实例－双曲线方程 1 b = a + y x
38
36 35
35
34 33
33
31 32 31 25
32 25
26
34 26
27
7月均温(度)
36 27
28
38 28
40 29
29
③
以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中 作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。
14 13 12 11 10 ln A 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7
Ln P
8
9
10
④ 景观斑块面积（A）与周长（P）间－双对数关系。
⑤ 根据新表数据，运用建立线性回归模型的方 法，建立y与x之间的线性回归模型，得到
14 12 10 8 6 4 4
y = 1.505x - 0.5057 R2 = 0.9342
5
6
7 x=lnP
8
9
10
景观斑块面积与周长
5. 内线性模型评价
① 线性化后方程求解的评价
9 显著性 9 回归系数 9 拟合度
② 线性化后方程求解，代入原方程再评价
9 残差平方和 9 预测值与拟合值的相关系数 9 预测值与拟合值的散点图
3) （狭义）非线性回归模型
回归模型参数是非线性的，且不能通过变 换转化为线性形式。
3. 常用内线性模型及其线性化方法
(1) 双曲线
z
对于双曲线
1
1 b = a+ y x
，令 y ′ =
40
1 1 , x′ = y x
，转化为直线
y ′ = a + bx ′ . 形式：
(a>0 and b<0)
11 474.770 72 2 数据－续 1 877.476 497.394 1 934.596 1 171.413 2 275.389 1 322.795 9 581.298 994.906 229.401 225.842 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
399.725
71
∂Q =0 ∂a
z
∂Q =0 ∂b
非线性形式方程的偏导数一般比较复杂，通常 很难求解。
2. 回归模型类型
1) 线性回归模型：参数线性，变量线性。
y = b 0 + b1 x
y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk
2) 内线性回归模型
参数虽不是线性，但经变换可使参数化 为线性形式，然后可按线性回归模型求解。
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
527 620.200 179 686.200 14 196.460 22 809.180 71 195.940 3 064.242 46 9416.700 5 738.953 8 359.465 6 205.016 6 0619.020 1 4517.740 31 020.100 26 447.160 7 985.926
0 . 0688 y = 33 . 666
例：某地区各林地景观斑块面积（m2）与周长（m）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 面积A 10 447.370 15 974.730 30 976.770 9 442.902 10 858.920 21 532.910 6 891.680 3 695.195 2 260.180 334.332 11 749.080 2 372.105 8 390.633 6 003.719 周长P 625.392 612.286 775.712 530.202 1 906.103 1 297.962 417.058 243.907 197.239 99.729 558.921 199.667 592.893 459.467 序号 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 面积A 232 844.300 4 054.660 30 833.840 1 823.355 26 270.300 13 573.960 65 590.080 157 270.400 2 086.426 3 109.070 2 038.617 3 432.137 1 600.391 3 867.586 周长P 4 282.043 289.307 895.980 205.131 968.060 1 045.072 2 250.435 2 407.549 266.541 261.818 320.396 253.335 230.030 419.406