2018人教版八年级-平方差公式平方差公式教案◆教学目标◆◆知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．◆过程与方法：. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．◆情感态度：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．◆教学重点与难点◆◆重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解◆难点：平方差公式的应用．◆教学过程◆一、学生动手，得到公式1. 计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）2．提出问题：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？2．特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差3．再试一试：学生自己出相似的题目加以验证：4．得到结论（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．即（a+b）（a-b）=a2-b2 1：二、熟悉公式1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？2：(b2a)(3-)2+a-b)33232(b)(aa-+)ba+b--a+2(b3)(23+))(+b(ca+-b--+a-acbc3a(b)(2)3a2(cb)(ba---)1、认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b三、运用公式1．直接运用例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）3：2．简便计算例：（1）102×983：（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）3． 练习： P153 练习1，2)2)(2(x y y x +--- )25)(52(x x -+ )25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x 22)6()6(--+x x 4：100.5×99.5 99×101×10001 四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，•第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法． 五、布置作业，专题突破1. 课本14.2 1、2题．2.备用题1..证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方2.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数◆板书设计◆§15．2．1 平方差公式一、探究、归纳规律──平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2二、1．用简便方法计算2．计算： 三、应用、升华： ◆课后思考◆课堂练习平方差公式基础题—初显身手1．计算(x ＋1)(x －1)的值为( A )A ．x 2－1B ．x 2＋1C ．x 2－2x ＋1D ．x 2＋2x ＋12．(x ＋2)(x －2)＝x 2－4；3．(2x －1)(2x ＋1)＝4x 2－1．能力题—挑战自我4．下列各式中，计算正确的是( C )A ．(x －2)(2＋x )＝x 2－2B ．(x ＋2)(3x －2)＝3x 2－4C ．(ab －c )(ab ＋c )＝a 2b 2－c 2D ．(－x －y )(x ＋y )＝x 2－y 25．下列各式中，能用平方差公式计算的是( D ) A ．(－a －b )(a ＋b ) B ．(m ＋2n )(m －n ) C ．(x －y )(－x ＋y ) D ．(－a －b )(a －b )6．4x 2－5y 需要乘下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( A )A ．－4x 2－5yB ．－4x 2＋5yC ．(4x －5y )2D ．4x 2－5y7．若(x ＋a )(x －5)展开式中不含有x 的一次项，则a 的值为( B ) A ．0 B ．5 C ．－5 D ．5或－58．为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比( C ) A ．增加6米² B．增加9米² C ．减少9米² D．保持不变9．为了利用平方差公式计算(－7＋a ＋b )(－7－a －b )，必须进行适当的变形，下列变形正确的是( )A ．原式＝［－(7－a －b )］［－(7＋a ＋b )］＝72－(a ＋b )2B ．原式＝［－(7＋a )＋b ］［－(7＋a )－b ］＝(7＋a )2－b 2C ．原式＝(－7＋a ＋b )［－7－(a ＋b )］＝－72－(a ＋b )2D ．原式＝(－7＋a ＋b )［－7－(a ＋b )］＝72＋(a ＋b )210．能整除代数式n 2－(n ＋2)(n －2) (n 为正整数)的正整数是( A ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．511．(3m －5n )(5n ＋3m )＝9m 2－25n 2；(－2b －5)(2b －5)＝25－4b 2． 12．如果a 2－13k ＝(a ＋12)(a －12)，则k ＝34．13．一条水渠的横断面为梯形，它的上底为a ，下底为b ，高为2(a －b )，则梯形的面积为a 2－b 2．14．计算：(1)(a ＋2)(a －2)(a 2＋4)； (2)－2(3x ＋2y )(3x －2y )；(3)x 2－x －(x －13)(x ＋13)．解：(1) 原式＝(a 2－4)(a 2＋4)＝(a 2)2－42＝a 4－16；(2)原式＝－2[(3x )2－(2y )2]＝－2[9x 2－4y 2]＝－18x 2＋8y 2；(3)原式＝x 2－x －(x 2－19)＝x 2－x －x 2＋19＝－x ＋19．15．先化简，再求值：(12x ＋13y )(13y －12x )＋12x ·(12x －13y )，其中x ＝4，y ＝6．解：原式＝(13y ＋12x )(13y －12x )＋14x 2－16xy ＝(13y )2－(12x )2＝19y 2－14x 2＋14x 2－16xy ＝19y 2－16xy ＝19×62－16×4×6＝0．16．解方程: 5x ＋6(3x ＋2)(－2＋3x )＝54(x －13)(x ＋13)＋2．解：5x ＋6(9x 2－4)＝54(x 2－19)＋2，5x ＋54x 2－24＝54x 2－6＋2，5x ＋54x 2－54x 2＝24－6＋2，5x ＝20，x ＝4．拓展题—勇攀高峰17．七年级学生贝贝是一个非常喜欢思考和探究的人，这不，小丽经过探究发现：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．比如，3×5＋1＝16＝42，11×13＋1＝144＝122，······可小丽不知道能不能推广到更一般的情况，她给老师打电话问了一下，老师提示说，连续奇数可用整式表示，表示出来后就可以运用学过的乘法公式进行说明了．贝贝若有所悟，在老师的提示下，很快从一般意义上给出了这个发现的说明，你能做一做吗？解：(2n －1)(2n ＋1)＋1＝4n 2－1＋1＝(2n )2．18．定义运算(a ，b )&(c ，d )＝ad －bc ，求(x ＋3，2x )&(x ，x －3)的值．解：(x ＋3，2x )&(x ，x －3)＝(x ＋3)(x －3)－2x ·x ＝x 2－9－2x 2＝－9－x 2平方差公式【教材训练·5分钟】1.整式乘法中的平方差公式（1）公式：22()()a b a b a b+-=- .（2）表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.（3）公式结构特征：等式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，等式的右边是这两个数的平方差.2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）（1）2(2)(2)2x x x+-=-（×）（22(2)(3)6y y y+-=-（×）（3）2(32)(32)94a a a----=-（√）（4）2(22)(22)44m m m+--=-（×）【课堂达标·20分钟】训练点一：平方差公式的直接应用1．（2分）2．（2分）3．3. （2分）(1+x2)(x2-1)的计算结果是（）（A）x2-1（B）x2-1 （C）x4-1 （D） 1-x4【解析】选C. (1+x2)(x2-1)=22(1)(1)x x+-=22()1x-=x4-1.4．（2分）计算（x2 +41）（x+21）(x-21)的结果为( )（A）x4+161（B）x4-161（C）x4-21x2+161（D）x4-81x2+161【解析】选B. （x2 +41）（x+21）(x-21)=2211()()44x x+-=2221()()4x-= x4-161.5. （2分）(5)(5)mn mn---+= .【解析】(5)(5)mn mn---+=22()5mn--=2225m n-.答案：2225m n-6.（6分）计算：（1）(3a＋2b)(3a－2b)（2）2211(2)(2)22x x-+--（3）(200＋1)(200－1)（4）))((zyxzyx++-+【解析】（1）原式＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2（2）原式＝22411(2)()424x x--=-（3）原式＝2002－12＝39999（4）原式＝[(x＋y)－z][(x＋y)＋z]＝(x＋y)2－z2＝x2＋xy＋xy＋y2－z2＝x2＋2xy＋y2－z2.训练点二：平方差公式在简便运算中的应用1．（2分）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T1）2.(2分) （13版北师七下百练百胜P19训练点2T2）3.（2分）（13版人教八上百练百胜P77训练点1T2）4.（13版人教八上百练百胜P77训练点2T3）【解析】等式左边是两个连续奇数的乘积，则2(21)(21)(2)1n n n -+=-.答案：2(21)(21)(2)1n n n -+=-. 5.（6分）应用平方差公式计算：（1）16141515⨯； （2）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（2））(3) （13版人教八上百练百胜P77训练点2T6（1））（4）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（3））【解析】（1）16141515⨯=11(1)(1)1515+-=225224 （2）(3)（4）【课后作业·30分钟】一、选择题（每小题4分，共12分）1．平方差公式22+-=-中的a、b表示（）a b a b a b()()（A）只能是数或字母（B）只能是字母（C）只能是多项（D）可以是单项式或多项式【解析】选D. （a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示可以是单项式，也可以是多项式.2.（2012·雅安中考）计算a2(a+b)(a-b)+a2b2等于（）（A）a4（B）a6（C）a2b2（D）a2-b2【解析】选A. a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+ a2b2= a4.3. （13版人教八上百练百胜P78能力提升T2）二、填空题（每小题4分，共12分）4. 已知（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0．则a2－b2= ．【解析】∵（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0，∴a＋b－3=0，a－b＋5=0，∴a＋b=3，a－b=﹣5，又∵（a＋b）（a－b）= a2－b2，∴a2－b2=﹣15.答案：﹣155. （13版北师七下百练百胜P18能力提升T6）6.三.解答题（共26分）7．（6分）8.（6分）（1）（2012·无锡中考） 3(x2+2)一3(x+1)（x一1）．（2）(2012·吉林中考)先化简，再求值：(a＋b)（a－b）＋2a2，其中a＝l，b【解析】（1）原式=3x2+6－3(x2—1) =3x2+6－3x2+3 =9（2）原式＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2，当a＝l，b3－2＝1．9.（6分）10.（8分）（能力拔高题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．【解析】（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．（1）1－x n+1（2）①－63；②2n+1－2；③x100－1（3）①a2－b2②a3－b3③a4－b4。