八年级几何证明常见模型
（1）手拉手模型
【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，
连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB
（6） BH 平分∠AHC
（7） GF ∥AC
【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH
平分∠AHC
A
2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC
（2）AE=DC
（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 【例题2】如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
F
【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.
问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？
（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？
（4）HD 是否平分∠AHE ？
2：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.
问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？
（2）AE 是否与CD 相等？
（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？
A
（4）HB 是否平分∠AHC ？
【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠BAE=∠CAD=90°． （1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；
（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中点，连接NA 并延长与BC 交于点M ，证明：AM ⊥BC ．
H
A
B
C
E
【变式练习】1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，
分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt
⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。

（1）
试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（2）
如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你
能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由。

（3）在（2）
的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S⊿AEF=
（2）角平分线模型
【例题1】.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画
一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个
全等三角形的方法，解答下列问题。

①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE
是∠BAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出
EF与DF之间的数量的关系。

②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其
他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，
请证明；若不成立，请说明理由。

A
O
M
N
E
F
图1
A
B
C
D
E
F
图2 A
B
C
D
E
F
图3
【变式练习】1、已知，21∠=∠，43∠=∠.
BAC AP ∠平分求证：.
2、在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.
.求证：︒=∠+∠180C A
3、已知四边形ABCD 中，
..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：
图4
【例题2】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P
是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．
D
P
C
B
A
【变式练习】1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是
是AD 上任意一点．
求证：AB AC PB PC ->-．
C
D
B
P
A
2、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100于D ，
求证：AD ＋BD ＝BC
ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于AC ＋CD ＝AB
A
C
B
D
C
4、如图1，AD∥BC，∠D＝90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，那
么AD、BC、AB三条线段有何数量关系？请你猜想并证明
(2) 如图2，将(1)中的∠D＝90°去掉，其余条件均不变，上述结论还成立
吗？请你推理并证明
（3）垂直模型
【例题1】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－3，0)、
B(0，3)，AD⊥BC于D交BC于D点，交y轴于点E(0，1)
(1) 求C点的坐标
(2) 如图2，过点C作CF⊥CB，且截取CF＝CB，连接BF，求△BCF的
面积
(3) 如图3，点P为y轴正半轴上一动点，点Q在第三象限内，QP⊥PC，
且QP＝PC，连接QO，过点Q作QR⊥x轴于R，求
OP
QR
OC
的值
【变式练习】1、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC
，AE 是过A 的一
条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E （1）试说明：BD=DE+CE ．
（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
2、已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB=AC ，
90=∠BAC ，O 为BC 中点，若M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.
①、 是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.
②、 当M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？
思路：两种方法：
（4）半角模型
条件：.
18021
0=+=γθβα且
思路：（1）、延长其中一个补角的线段
（延长
CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB
到F ，使FB=DN ，连AF ）
结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN
分别平分∠
BMN 和∠DNM
（2）、对称（翻折）
思路:分别将△ABM
和△ADN 以AM 和AN 为对称轴
翻折，但一定要证明
M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0
180且AB=AD ） 例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN=
45
②.
AB
C CMN 2=∆
③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.。