海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理） 2015.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =U （ ） （A ）[2,)-+∞（B ）(1,)+∞ （C ）(1,2] （D ）(,)-∞+∞（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4（B ）2（C ）1（D ）12（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ） （A ）3（B（C）2（D ）1（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）圆1,1x y ⎧=-θ⎪⎨=+θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）（A）2（B ）π（C）（D ）4π（6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥（D ）210x y -+≥（8）某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）（A ）第一年到第三年 （B ）第二年到第四年 （C ）第三年到第五年 （D ）第四年到第六年（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）（A ）（B）（C）（D ）正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知i1i 1ia =-+-，其中i 是虚数单位，那么实数a = . （10）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为______．（11）已知,4,m n 是等差数列，那么mn⋅=______；mn 的最大值为______． （12）在ABC ∆中，若π4a c A ==∠=，则B ∠的大小为 . （13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）（14）设32,,(),.x x a f x x x a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩若存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）已知函数2π()sin ()4f x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求π()3f x -的单调递减区间.（16）（本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．（17）（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ，AD DC ⊥，22BC AD DC ==，四边形ABEF 是正方形. 将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2.（Ⅰ）求证：1BE DC ⊥；（Ⅱ）求BM 与平面1CE M 所成角的正弦值； （Ⅲ）判断直线DM 与1CE 的位置关系，并说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数1()ln (0)f x a x a x=+≠. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若{()0}[,]x f x b c ≤=（其中b c <），求a 的取值范围，并说明[,](0,1)b c ⊆.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.图2ABC DE 1F 1ME（20）（本小题满分14分）有限数列12:,,,.(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥同时满足下列两个条件：① 对于任意的,i j （1i j n ≤<≤），i j a a <；② 对于任意的,,i j k （1i j k n ≤<<≤），i j a a ，j k a a ，i k a a 三个数中至少有一个数是数列n A 中的项.（Ⅰ）若4n =，且11a =，22a =，3a a =，46a =，求a 的值； （Ⅱ）证明：2,3,5不可能是数列n A 中的项； （Ⅲ）求n 的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）2 （10）4 （11）16,16 （12）π12或5π12（13）24 （14）(,0)(1,)-∞+∞U 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()4()2x f x π-+=………………2分1sin 22x+=. 所以 2ππ2T ==. ………………4分令π2π()2x k k =+∈Z ，得：ππ()24k x k =+∈Z . ………………6分所以 ()f x 的最小正周期为π，对称轴的方程为ππ()24k x k =+∈Z . （Ⅱ）sin 2()13()32x f x π-+π-= 12π1sin(2)232x =--+. ………………9分令π2ππ2π22π()232k x k k -≤-≤+∈Z ，得：π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z .所以 π()3f x -的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； (2)分2212s s >. ………………4分（Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=. ………………6分所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=. (8)分（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3. ………………9分033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=， 2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=.所以X 的分布列为………………11分所以 X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. (13)分另解：由题意可知(303)X ~B ,..所以 X 的数学期望30.30.9EX =⨯=. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形11ABE F 为正方形， 所以 AB BE ⊥1.因为 平面⊥ABCD 平面11F ABE ，平面I ABCD 平面AB F ABE =11，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 ⊥1BE 平面ABCD . ………………2分 因为 ⊂DC 平面ABCD ，所以 DC BE ⊥1. ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点B 为坐标原点，分别以1,BC BE 所在的直线为,x z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1AD =，则1(0,0,0),(2,0,0),(0,(1,1,)2B C E M .所以 (1,1,)2BM =u u u u r，1(CE =-u u u u r，1(1,1,2E M =-u u u u u r . ………………6分 设平面1CE M 的一个法向量为(,,)n x y z =r.由110,0,n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u u r得20,0.2x x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 令1x =，得0z y ==，所以(1,n =r. ………………8分设BM 与平面1CE M 所成角为θ，z1则sin cos ,BM n BM n BM nθ⋅=<>===u u u u r ru u u u r r u u u u r r 所以BM 与平面1CE M所成角的正弦值为15. ………………10分（Ⅲ）解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下： ………………11分由题意得，(2,1,0),(1,0,2D DM =-u u u ur 1(CE =-u u uu r . 所以 12CE DM =u u u u r u u u u r.所以 1//CE DM u u u u r u u u u r. (13)分因为 DM ，1CE 不重合，所以 //DM 1CE . ………………14分 另解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE 且112PQ BE =. 因为 M 为1AF 的中点，四边形11ABE F 是正方形， 所以 1//AM BE 且112AM BE =. 所以 //PQ AM 且PQ AM =. 所以 APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP 且MQ AP =.因为 四边形ABCD 为梯形，2BC AD =， 所以 //AD PC 且AD PC =.PQ ABCDE 1F 1M所以 四边形APCD 为平行四边形. 所以 //CD AP 且CD AP =. 所以 //CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . ………………14分（18）（共13分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.………………3分 （ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数，所以 要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1()0f a <，即1ln 0a a a+<.所以 e a >. ………………7分当e a >时，222211()ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a=+=-+=⋅-. 令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22'()1(e)x g x x x x-=-=≥.当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数.所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->.所以 21()0f a >. ………………9分 因为 2111a a <<，1()0f a<，(1)10f =>， 所以 ()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c . ………………11分因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a +∞内是增函数，所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分因为 211(,)b a a ∈，1(,1)c a∈， 所以 [,](0,1)b c ⊆. ………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,3.b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分 解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分 因为 122m y y +=， 所以 12024y y m y +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形，所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C m y y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分所以 不存在满足题意的菱形ABCD .（20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得26a <<.由②，当2i =，3j =，4k =时. 2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =.经检验，当3a =时，符合题意. ………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥.由①，1231n n n n a a a a --->>>>. ………………4分对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=. ………………6分所以 23n n a a --=，这与①矛盾.所以 2,3,5不可能是数列n A 中的项. ………………7分 （Ⅲ）n 的最大值为9，证明如下： ………………8分（1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242A -----，则9A 符合①、②. ………………11分（2）设12:,,,(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥符合①、②，则： （ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1||||||||i j k l a a a a <≤≤≤.则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a >，||||k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项.同理：j k a a 也是数列n A 中的项.但||||i k k a a a >，||||j k k a a a >.所以 i k j k l a a a a a ==.所以 i j a a =，这与①矛盾.（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.（ⅲ）n A 中至多有两项绝对值等于1.（ⅳ）n A 中至多有一项等于0.综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n A 中至多有9项. (14)分由（1），（2）可得，n 的最大值为9.。