2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x =，则()f f x =⎡⎤⎣⎦ .2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ . 3.()14451x dx x=+⎰.4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为 .5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z z xy x y ∂∂+=∂∂ 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy -=+，点0x =是( )A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰.四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =.五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-. 六（6分）设()f x x =，()sin 0202x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求()()()0x F x f t g x t dt =-⎰.七（6分）已知(),u u x y =由方程()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===确定，其中,,f g h 都是可微函数，求,u ux y∂∂∂∂. 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数2311111323333n n +++++⋅⋅⋅⋅L L 的和. 十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 十一（8分）已知两个球的半径分别为,()a b a b >，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分()222xy z ds ∑++⎰⎰，其中∑为曲面0)z a =>.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xkx e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= .4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰.5. 曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 . 6.设(),sin xy z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰.8.幂级数111112n n x n∞=+++∑L 的收敛域 .二.（8分）设4tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-.三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nkn n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 六.（9分）设()()()()(),0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在()0,0连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，求41lim t Dfydxdy t +→⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的方程为()22430x y y x +=-≥，一质点P 在力F u r作用下沿曲线AB 从()0,1A 运动到()0,3B ，力F u r的大小等于P 到定点()2,0M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F u r对质点P 做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.0x →时，sin cos cos2x x x x -⋅⋅与kcx 为等价无穷小，则c =2. 21lim arctan x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3. lim n →∞⎛⎫+=L 4. ()()4ln 1,4f x x x n =->时()()0n f =5.()2sin cos cos sin x x xdx x x +⋅=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x '在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，()0baf x dx =⎰，求证:1) (),a b 内至少存在一点ξ使得()()f fξξ'=；2）(),a b 内至少存在一点,,ηηξ≠使得()()f f ηη''=三.（10分）设22:4,D x y x y x +≤≤-，在D 的边界y x =-上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =-旋转一周的旋转体的体积.四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使PM MQ +最小. 五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域.六（10分）求证：332ππΩ<<，其中222:1x y z Ω++≤.七（10分）设()f x 连续，可导，()11f =，G 为不含原点单连通域，任取,M N G ∈，G 内积分()()212NMydx xdy x f y -+⎰与路径无关.（1）求()f x ；（2）求()()212ydx xdy x f y Γ-+⎰Ñ其中Γ为22331x y +=边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分） 1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦L 2. ()()25001lim 1xtx x e dt x -→-=⎰3. ()1202arctan 1xdx x =+⎰ 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y zx ze+=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y xy dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3. 三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞.五（12分）设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，求2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰.七（10分）1）设幂级数21nn n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a = ，b = 时，2limarctan 2xax x x bx x p+=--2. a = ，b = 时()ln(1)1xf x ax bx=-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。