2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2
ln(1x y x
=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =
4.21x
x e dx x
-=⎰
5.4
2
1
1dx x
+∞
=-⎰
6.圆222
222042219
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪
⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x
z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz
==
8.级数1
1(1)!
2!n n
n n n ∞
=+-∑的和为. 二.（10分）
设()f x 在[],a b 上连续，且()()b
b
a
a
b f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使
得()0a
f x dx ξ
=⎰.
三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D
x y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
六、（12分）求()()21x
x y e dx x y dy Γ
++++⎰，其中Γ为曲线22
201212
x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.
七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-
()2,3,,n = 记1
n n x a =，判别级数1
n n x ∞
=∑的敛散性.。