江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m （其中01q <<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q 倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明201()3f x dx M ≤⎰，其中 [0,2]()maxx M f x ∈''=.江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.111414242lim n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨=⎩确定的隐函数，则zx ∂=∂____________________。

3.设22()(32)cos16nx f x x x π=-+，则()(2)n f=________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos 2xy xe x =，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。

6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r，(,)3a b π∧=r r ，则0limx a xb ax→+-=r r r___________________。

7.2311(cot )dx x π=+⎰_______________________。

8.椭球面222241x y z ++=与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较e π与e π的大小。

三、（10分）已知,a b 满足12b ax dx =⎰，（0a b ≤≤），求曲线2y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。

求证：)0,0(),(1lim2f dxdy y x f t Dt =⎰⎰→。

五、（10分）求不定积分dx xe x xx x ⎰++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程04622222=∂∂+∂∂∂+∂∂y uy x u x u 化简成02=∂∂∂ηξu，求b a ,的值。

七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠, 证明：10[0,1]()4()max x f x dx f x ∈''≥⎰。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共40分）1.若0a >，20061lim lim[sin()tan 3]sin 6xx x x x x x ππ→→=-- ，则a =____________.2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--⋯⋯-则(0)f '=________________.3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与1()2ba x -为等价无穷小，则 a =_____________,b =_______________.4.2||1x xe dx --=⎰___________________________.5.直线23223x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为____________.6.++παβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的6面积为______________.27.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx'==≠=设当时，则 8.设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞→x y x lim 。

二、（10分）设,0()0,0x y f x x >===⎪⎩；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

三、（10分）22(1)(3).x x --2设f(x)=x(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.四、（10分）220x sin u x (sin ),.3sin 4cos xxf x dx dx x ππππ+⎰⎰⎰若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=并求2 五、（10分）10()[0,1]0x<y 1|f(x)-f(y)||arctanx-arctany|,f(1)=0,1|f ()|ln 2.2f x x dx ≤≤≤≤⎰设在区间上可积，当时，又求证：六、(10分)求过点)0,9,11(，而与两直线⎩⎨⎧=++-=+040:1z y x y x L 、⎩⎨⎧=-+=-+02013:2z y y x L 相交的直线方程。

七、（10分设)(t f 连续函数，求证2,2:,))(()(A y A x D dt t A t f dxdy y x f DA A≤≤-=-⎰⎰⎰-。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、填空题（每小题5分，共40分）1.____________x →=2. 函数f(x)=()2232x x x x ++-的不可导点的个数为___________.3.设f(x)=00x x ⎧≤⎪⎨f ,则31(2)f x dx -⎰=_______________.4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dydx=_______________. (专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则101lim()________x f xt dt x →=⎰5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：2135x z x y z +=⎧⎨-+=⎩和22,:14,3x t l y t z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩垂直，则l 的参数方程为_______________________. 6.ln x dx =⎰_____________________.7. 设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→， 极限与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.，则a =______________________、b =___________________________.8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么=-'+-')()(a g a f 。

二、（9分）求lim sin(n →∞.三、（9分）α为正常数，使得不等式xx e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，''()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.五、（9分）设连续函数()f x 满足()f x =1223()(),().x x f x dx x f x dx f x ++⎰⎰求六、（9分）设][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数），求极限⎰+∞→xx dx x f x 0)(1lim 。

七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,k f x y k x y x y x y =--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A ，B ，C ，D 为正方形四个顶点。