线性变换 X = CY ，则
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0

d1 02

dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1

由此对角矩阵 D
d2






dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。
证明：充分性 若 di 0 , i 1, 2, , n ，则 d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定，由于二次型经非奇异线性变换后，其正定性不变，
信息系 刘康泽
从而 X T AX 正定。
必要性 设 X T A X正定，用反证法，设有 dk „ 0 ，
为不定二次型,
称矩
阵 A 为不定矩阵。
信息系 刘康泽
由上所述，二次型 f X XT AX 为正定（或负定）、
半正定（或半负定）和不定，则其对应的实对称矩阵 A 分
别为正定（或负定）、半正定（或半负定）和不定；反之 亦然。
【注】二次型 X T AX 为负定（或半负定）的充分必 要条件是二次型 X T AX 正定（或半正定）；
正定(负定)矩阵。
（2）对任意的向量 X ，有 X T AX …0 („ 0 )成立，
并且存在
X0

0
，使
X
T 0
AX 0

0,
则称二次型 X T AX
为半正定(半负定)二次型，称 A 为半正定(半负定)矩阵。
（3）若存在向量
X1,
X2
，使得
X
T 1
AX1
>
0
，
X
T 2
AX
2
< 0 ，则称二次型 X T AX
a31
a12 a22 a32
a13 a23 ， a33
……， An A 。
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1 1 1
例如
A
=

1
2
3

各阶顺序主子式为：
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例 3 二次型 f x1, x2 2x12 x22 3x32 是不定的， 因为 f 1, 0 ,0 2 ，0f 0 , 1,0 1 。0
【定理】任意一个二次型经非奇异线性变换后，其 正定性不变。
证明 设 f X XT AX 为正定二次型，作非奇异
信息系 刘康泽
【推论】若实对称矩阵 A 与 B 合同，则 A 与 B 具有
相同的正定性。
【定理】 f x1, x2, , xn XT AX 为正定二次型
的充要条件是其标准形的 n 个平方项的系数全大于零。
即若 X T AX 经过非奇异线性变换 X CY 化成标
准形 f x1, x2, , xn d1 y12 d2 y22 dn yn2 ，
【定义】
设
n
阶实对称矩阵
A信=息a系ij
刘康，称泽 A
nn
的前
k 行和前 k 列组成的 k 阶子式
a11 a12
a1k
Ak a21 a22
a2k ,
ak1 ak 2
akk
为 A 的 k 阶顺序主子式。
A 的各阶顺序主子式为：
A1
a11
， A2

a11 a21
a12 ， a22
a11 A3 a21
惯性指数为 n 。
由于正惯性指数为 n 的二次型的规范形的矩阵是单
位矩阵，故有：
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【推论 2】 实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 合同 于单位阵 E 。
【推论 3】 实对称阵 A 正定的充要条件是存在可逆 矩阵 P ，使 A = PT P 。
证明： 由于实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 合同 于单位阵 E ，故存在可逆的 C ，使得 CT AC = E ，即
件是 A 的 n 个特征值全大于零，即 i 0, i 1, 2, , n 。
证明 对 n 元二次型 f X XT AX ，必存在正交
变换 X = QY ，（ Q 为正交矩阵），使其化为标准形： f 1 y12 2 y22 n yn2 ，
这就是说标准形 n 个平方项的系数 1, 2, , n 为 A 的全部特征值，于是 X T AX 正定的充要条件就是这 n 个平方项的系数 i 0, i 1, 2, , n 。
A = C 1 T EC 1 C 1 T C 1 PT P ， (P C 1)
【注】如果 A 为正定矩阵，则 A 0 。反之不一定。
1 0 0
例如 设
A
=

0
1
0

，A
0 ，但A不是正定矩阵。
0 0 1
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【定理】 n 元二次型 f X XT AX 正定的充要条
实对称矩阵 A 为负定（或半负定）的充分必要条件是 A为正定（或半正定）。
例 1 二次型
f x1, x2, , xn d1x12 d2 x22 dn xn2 ，
( di 0(i 1, 2, , n) )
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显然对任意的 X = x1, x2, , xn T 0 ，都有