二次型2007-029-8设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。

已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。

2007-029-9已知二次曲面方程为222123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？2007-008-8已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=8111181111811118A (1)求二次型⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-7121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.2007-012-2求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。

2007-001（A ）-1化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）已知实二次型313221232221321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都是1，则a = .2007-030-3（6）（计算与证明题）设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。

2007-031-6设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型32212322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。

2007-032-6设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。

2007-032-7设12,,,n ααα 是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。

2007-033-3给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。

2007-034-4设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。

证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且1()()n n A I B I B -=+-。

2007-034-6设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。

证明A B +的行列式det()0A B +>。

2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）设320222021A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。

2007-035-2（20）（计算与证明题）设A B B D ⎛⎫ ⎪'⎝⎭为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ⨯矩阵。

证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。

2007-035-2（22）（计算与证明题）设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。

2007-036-4设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在30X ≠，使得3()0f X =。

2007-019-4证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。

2007-037-7设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。

2007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：2221234124121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++（2）t 取什么值时，二次型222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++为正定的？2007-038-3用正交化二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。

并写出所作的正交变换。

2007-038-8若A 是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B ，使得3A B =。

并对二阶方阵13141413-⎛⎫⎪-⎝⎭。

求出一个满足上面条件的矩阵B 。

2007-040-6试将22212312313(,,)2Q x x x ax bx ax cx x =+++划为标准形，求出变换矩阵，并指出,,a b c 满足什么条件时，Q 正定。

2007-040-7设,A B 都是正定实对称矩阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =。

（2）如果A B -正定，则11B A ---也是正定。

2007-041-6设,A B 均是n 阶实对称矩阵，且B 正定，证明（ⅰ）B A λ-的根是实数;（ⅱ）设0B A λ-=的根为i λ，1,2,,i n = 且12n λλλ≥≥≥ ，则()f X X AX '=（X '是X 的转置）在约束条件下1X BX '=下的最大值和最小值分别为1,n λλ。

2007-041-8设2111nni i n i i i f a x b x x -+===+∑∑，其中,a b 是实数，问,a b 满足什么条件时，二次型f 是正定的？2007-043-4设一个二次曲面在直角坐标系[;,,]O x y z 下的方程为2222323828824x y z xy xz yz ++-+-=，求一个正交直角坐标变换T ：x u y T v z w ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。

2007-043-4设A 为一个n 阶正定矩阵，B 为一个n 阶反对称矩阵，即B 满足：T B B =-。

1. 证明：存在n 阶实可逆矩阵T 使得T A TT =，其中T T 表示矩阵T 的转置矩阵。

2. 证明：B 的特征值或者是0或者是纯虚数。

3. 证明：A B +为可逆矩阵。

2007-044-7设A 是一个n n ⨯实对称矩阵，λ是A 的最大特征值。

证明：,11nij i j a n λ=≤∑。

2007-013-2（1）证明：任意n 阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（2）设A 是n 阶实方阵，且对任意的非零列向量α，都有0A αα'>。

证明：存在正定矩阵B 和反对称矩阵C 使得A B C =+。

2007-018-3设1241102413004171207A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪--⎝⎭，1234(,,,)X x x x x =，()f X X AX '=。

问()f X 是否是一个正定二次型，为什么？2007-018-6设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足0X AX '=。

（ⅰ）证明当A 为对称矩阵时0A =，（ⅱ）如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵。

2007-018-9设0001001001001000A ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为21n +阶实对称矩阵，试求正交矩阵P ，使得1P AP D -=为对角形矩阵，并求D 。

2007-018-10证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）n 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。

2007-013-9证明下述1n +阶实矩阵A 是正定矩阵：231234212321222223122222342222212321n n n n n n n A n n n n n ++++++⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪⎪⎪⎪⎪++++⎝⎭2007-007-1（9）（填空）设A 是n 级实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充分必要条件是 。

2007-007-7设实二次型12(,,,)n f x x x 的系数矩阵为A ，若0A <，证明：必存在一组实数12,,,n a a a ，使12(,,,)0n f a a a < 。

2007-046-7设()ij n n A a ⨯=为一实对称阵，若A 是半正定的，则A 的一切主子式0k A ≥其中111212122212k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦且11k i i n ≤≤≤≤ 。

2007-004-5设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。

2007-004-7设二次型222123121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准形22232f y y =+，求参数,a b 及所用的正交变换。

2007-047-1（5）（填空）复数域上C 上n 阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。

2007-048-8（5）假设n n ⨯实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵，证明：11B A ---也是正定矩阵。

2007-026-10讨论二次型222123123121323(,,)25484f x x x tx x x x x x x x x =+++--何时正定。

2007-024-1（7）（判断题）任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。

2007-024-1（8）（判断题）设()ij A a =为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。

2007-024-2（2）（填空题）设实二次型112312323121(,,)(,,)000323x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则123(,,)f x x x 的矩阵为 ，符号差 。