典型例题一例01．关于x 的方程b ax =在下列条件下写出解的情况：①当0≠a 时，解的情况___________.②当0=a 时，⎩⎨⎧≠=_______. 0._______0方程解情况方程解情况b b分析 对于方程b ax =.①当0≠a 时，方程有惟一一个解，解为abx =； ②当0=a 时，00,0=⋅=x b . 有无数个解，x 可为任意实数； 当0=a ，0≠b 时，方程无解. 说明 本题是很重要的基础知识.典型例题二例02．由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______. 分析 因))(()(b a b a x b a -+=+，当0≠+b a 时，.b a x -=解答 0≠+b a .说明 0≠+b a 是解本题的关键.典型例题三例03．已知d n a a n )1(1-+=，则=n ______. 分析 因d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(1-=-，da a n n 11-=-. 故.11+-=da a n n 说明 公式变形实质上就是解含字母已知数的方程.典型例题四例04．方程a bxb a x -=-（b a ≠）的解______. 分析 移项，得a b bxa x -=-，.)(a b aba b x -=- 故 当b a =时，00=⋅x ，x 可为任何数； 当b a ≠时，0≠-a b ，故.ab x = 解答 .ab x =说明 解含有字母系数的一元一次方程时，一定要注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子不能为零. 因此必须讨论.典型例题五例05．已知关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数，则a 的取值范围是_____. 分析 1)32(=-x a ，因为方程有根，所以032≠-a ，ax 321-=. 又因0<x ，故.0321<-a 故.32,032><-a a解答 32>a .说明 解字母系数方程与解数字系数方程步骤一样.典型例题六例06．在cb a 111+=（c b a ,,都是非零实数且b a ≠）中，如果已知b a ,，则=c _______. 分析 原式两边同乘以abc ，得 ab ac bc +=移项 ab c a b =-)(（※） ∵b a ≠，∴0≠-a b ∴.ab abc -=说明 这里c 是未知数，b a ,是已知字母系数，我们求c 实际上就是解关于c 的一元一次方程. 在中考中部分考生因为搞不清楚谁是已知字母系数，谁是未知数，所以丢掉了目标，就会产生错误. 同时也有考生在解题过程中不运用题给条件b a ≠，得到（※）式后，一步就得ab abc -=，反映了思维的不周密及要领模糊. 本题即属于公式变形题型.典型例题七例07．解关于x 的方程：.k x khh x +-=-分析 这里显然x 是未知数，字母系数是h ，k ，但并未说明h ，k 之间的关系. 所以我们把原方程整理成b ax =的形式后，要进行分类讨论.解答 ∵0≠k ，∴方程两边同乘以k ，得2k hx hk kx +-=-，移项、合并同类项得)()(k h k x k h +=+，（1）当0≠+k h 时，k x =；（2）当0=+k h 时，方程有无穷多组解.说明 本题运用了分类讨论思想对0≠+k h ，0=+k h 两类情况进行了讨论，反映了思维的周密性.典型例题八例08．解关于x 的方程：mxn n m x -=-22（n m -≠） 分析 这里x 是未知数，m ，n 是已知数，容易把x 求出来.解答 由所给方程可知0≠m ，0≠n ，从而0≠mn ，方程两边同乘以mn ，得nx n m mx -=-33，移项，得 33n m nx mx +=+， 即 ))(()(22n mn m n m x n m +-+=+ ∵n m -≠，∴0≠+n m . 两边同除以n m +，得22n mn m x +-=.典型例题九例09．确定实数k 的值，使方程组⎩⎨⎧=-=-)2( 46)1( 33ky x y x 有实数解，且0<x ，0<y .分析 可以用加减法或代入法解这个方程组，并注意对字母系数的讨论. 解答 )2(2)1(-⨯，得 .2)2(=-y k 当2≠k 时，22-=k y ；当2<k 时，.0<y )2()1(-⨯k ，得 43)63(-=-k x k . 当2≠k 时，)2(243--=k k x由2,0<<k x 得 .34,043>>-k k ∴ 当234<<k 时，方程组⎩⎨⎧=-=-4633ky x y x 有实数解，并且.0,0<<y x .典型例题十例10．解方程65879854--+--=--+--x x x x x x x x 解答 65879854--+--=--+--x x x x x x x x 分拆得611811911511-++-+=-++-+x x x x ， 消去常数得61819151-+-=-+-x x x x ， 左右分别相加得)6)(8(142)9)(5(142---=---x x x x x x0)]9)(5()6)(8)[(142(=------x x x x x ， 0)142(3=-x ,7=x经检验7=x 是原方程的根.说明 本题考查一类特殊的分式方程的解法. 适当移项，分别通分，可使解题简便. 不要笼统地去分母，因为，去分母有时会使项数增多，次数升高. 即使是要合并同类项，由于“繁”，所花时间也多，我们应设法化简. 如果一个分式的分子的次数不低于分母的次数，就一定可化成一个整式与分式的和的形式. 在本题中，方程两边各减去2，左右分别通分，再去分母即可.典型例题十一例11．若01=--+b a ab ，试判断11-a ，11+b 是否有意义？ 分析：判断分式11-a ，11+b 是否有意义，须看1-a ，1+b 是否为零，由条件中等式左边因式分解，及bc a =型数量关系，可判断出1-a ，1+b 与零的关系.解：将01=--+b a ab 的左边因式分解；0)1()(=+-+b a ab 0)1()1(=+-+b b a 0)1)(1(=-+a b∴01=+b 或01=-a ∴分式11-a 或11-b 无意义. 说明 bc a =型数量关系常与因式分解、分式的概念等知识综合命题.典型例题十二例12．某人提着一筒水上楼，上到一层楼时，这人做的功为0W ，问这人提着这筒水上到n 层，做了多少功？分析：该人提着水上楼时，人对水筒的拉力是一定的，由物理上的求功公式s F W ⋅=，可知：当F 一定是，W 与s 成正比.解：由求功公式s F W ⋅=知，W 与s 成正比∵某人提着这筒水上到一层时做的功为0W∴这人提着这筒水上到n 层时做的功为0nW 说明 在物理学上也常用到bc a =型数量关系.选择题1．选择题 （1）已知a x ay =++12，用x 的代数式表示y ，得（ ） （A ）a x y 3+= （B ）a x y -= （C ）a ax y 3+= （D ）a ax y -=（2）已知公式ah S 21=中，字母均为正数，则a 为（ ） （A ）hS 2 （B ）S h 2 （C ）S h 2 （D ）hS 2（3）如果y x k y x k ++=++1)(，且1≠k ，则y x +等于（ ） （A ）1 （B ）1-（C ）k （D ）k -（4）若a 、b 、S 、k 都是正数，则式子SbR b a =-可变形为（ ） （A ）S RRb a += （B ）R RaS b -=（C ）SR aSb +=（D ）aSSR b +=2．选择题 （1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）已知b a 11-=，c b 11-=，用含a 的代数式表示c ，应为（ ）（A ）b c -=11 （B ）c a -=11（C ）a a c -=1 （D ）aa c 1-=（3）若39=+yx ，39=+x y ，则x x 9+等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）3 （4）若0υυ+=gt ，且t gt S 0221υ+=，则t 等于（ ） （A ）υυ+02S （B ）02υυ-S （C ）υυ-02S（D ）υS 2（5）若34=n m ，且149=t r ，则mr nt ntmr 743--的值为（ ） （A ）215- （B ）1411- （C ）411- （D ）14113．选择题（1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）若413=a ，43=b ，31=d ，且0≠b ，0≠d ，a d 4≠，则从公式)(4)3(c b dc b a ++=中求出c 的值为（ ）（A ）3827 （B ）27111（C ）3827- （D ）27111- （3）关于x 、y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ay x a yx ,332的解是（ ）（A ）⎩⎨⎧==ay ax 34（B ）⎩⎨⎧-=-=a y a x 34 （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ay a x 511516 （D ）⎩⎨⎧==a y a x 1716（4）设y x P +=，y x Q -=，则式子QP QP Q P Q P +---+等于（ ） （A ）xy y x 22-（B ）xy y x 222-（C ）xy y x 22+（D ）xyy x 222+参考答案： 1．（1）D （2）A （3）A （4）C 2．（1）D （2）D （3）D （4）A （5）B 3．（1）D （2）C （3）A （4）A填空题1．填空题（1）关于x 的方程b a x =-5的解为___________ （2）当a__________时，关于x 的方程b ax =的解为ab x = （3）公式)(21c b a S ++=中，c =__________ （4）已知梯形面积h b a S )(21+=，已知S ，b ，h ，且0≠h ，则a =________（5）当b a ≠时，关于x 的方程22)(b a x b a -=-的解为__________2．填空题（1）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则其解为__________ （2）公式at +=0υυ中，已知1υ，0υ，a ，且0≠a ，则t =__________ （3）若012=-+x x ，则xx 1-=__________ （4）若mfl mh a -=，则f =___________ （5）公式Sd D L 4)(22-=π中，S =__________3．填空题（1）已知关于x 的方程bax a b x --=-2中，0≠+b a ，则x =__________ （2）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则解为___________ （3）关于x 的方程11+=-x mx )1(≠m 的解为___________（4）若m fl mh a -=，则f =___________ （5）若nm nm x n m n m +-=-+-1，且n m ≠，则x =___________参考答案：1．（1）b a x +=5（2）0≠（3）b a S --2（4）b hS-2（5）b a + 2．（1）1221f f f f -（2）a 0υυ-（3）1-（4）am l h m -2（5）L d D 4)(22-π3．（1）b a +（2）1221f f f f -（3）12-m （4）l aml h m -2（5）n m m -2解答题1．解关于x 的方程（1）325=-y x （2）543-=x y （3）b x x a 14347+=- （4）1=+by ax )0(≠a （5）x b x a -=+)1()2(-≠a （6）)()1(x n n x n +=- （7）22a bxb ax +=+)(b a ≠ （8）)()(22m x n n x m -=-)(22n m ≠ （9）ay bx by ax 22+=+)2(b a ≠（10）2224)()(a a x a x =--+)0(≠a2．解关于x 的方程 （1）011=--+b x a x )(b a ≠ （2）bax a b x --=-2)0(≠+b a（3）1=-++ba xb a x )0(≠a （4）x x a 22)1(2-=- （5）)()(b x b a x a +=+)(b a ≠ （6）x abb a x a b b a 2)(--=+)0(≠+b a（7）n m nmxx +=-)(n m ≠ （8）2222)()(x b a x b a x =-++++)0(≠a 3．已知：t t x +-=11，tty 2332--=，用x 的代数式表示y参考答案：1．（1）532+=y x （2）3204+=y x （3）b a x 2-=（4）a by x -=1（5）2+=a bx（6）2n x -=（7）b a x +=（8）nm mn x +=（9）y x =（10）a x =2．（1）b a b a -+ （2）b a + （3）a b a 222- （4）1 （5）b a --（6）b a b a +- （7）mn n m n -+2 （8）a b a 222+-3．1515+-x x 解答题1．公式变形（1）已知nD S S 21=，求2S （2）已知ld D M 2-=，求D （3）已知)(l r r A +=π，求l （4）已知Ir nIRE +=，求I （5）已知2021at t S -=υ，求0υ（6）已知h r V 231π=，求h2．公式变形（1）从公式)1(0at L L +=中，求出0L ，t 和a （2）在公式21111R R R +=中，求出R 、1R ，2R （3）公式[]d n a nS )1(21-+=υ中，求d（4）已知212211c c c c ++=υυυ，求1c（5）已知2)(1n n a a n S +=，d n a a n )1(1-+=，用n S 、1a 、n a 表示d参考答案：1．（1）1nDS （2）d Ml +2（3）r r A -π（4）nr R nE +（5）tat S 222+（6）23r V π 2．（1）at L +1，00aL L L -，00tL L L -（2）2121R R R R +，R R RR -22，R R RR -11（3）)1(21--n n n a S υ（4）1222υυυυ--c c （5）nn n a a S a a ---12122一、填空题1．已知53=-a a x ，则________=x ． 2．在公式at +=0υυ中，00≠⋅⋅t υυ，则________=a ，________=t ． 3．方程()()121222≠--=-a a a x a 的解为_____________． 4．把一个公式从一种形式变成另一种形式叫____________，在公式υ111+=u f 中，已知u 、υ且0≠+υu ，则_________=f ． 二、选择题：1．已知方程()222--=-m m x m 的解为1+=m x ，则m 的值为（ ）A ．2=mB ．2≠mC ．2-=mD ．2-≠m2．已知公式()0180≠=n Rn l π，用l 、n 表示R 的式子是（ ） A ．180l n R π= B ．l n R π180= C ．πn l R 180= D ．ln R 180π=3．已知()()111≠-+=n d n a a n ，则d 的值为（ ） A ．11--n a a n B ．n a a n --11 C ．11a a n n -- D ．11a a n n -- 4．当n m ≠时，方程()()m x n n x m +=+22的解x 的值为（ ） A ．n m m + B ．n m n + C ．n m n m +- D ．nm mn+- 三、计算题初中数学精品设计 1．解下列关于x 的方程：（1）b a x =+2； （2）()b a bx ax ≠-=+53；（3）()()021211≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++m m x m ； （4）()()()222222b a b x b a x a ≠-=-． 2．在公式()211d n n na S n -+=中，已知n S 、n 和1a ，且0≠n 、1≠n ，求d ． 四、公式变形（以下所有字母均不为0）：1. 已知)(2h r r A +=π，求h ；2. 已知t v S S 00+=，求0v ；3. 已知2121at t v S +=，求1v ； 4. 已知])1([211d n a n S -+=，求d ；答案：一、1．a 58；2.av v t v v 00,--；3.12--a a ；4.公式变形，v u uv +； 二、1.B ；2.C ；3.A ；4.D;三、1.（1）2a b x -=；（2）b a x --=8；（3）1=x ；（4）b a b ab a x +++=22 2.nn na S d n --=2122 四、（1）r rr A -π2；（2）t S S v -=00；（3）at at s v 212-=；（4）)1(21--=n n na S d。