【中考数学压轴题】---定值问题一、乘积、比值类型1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分 （2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC=即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分二、定长、定角、定点、定值类型1．（2011•东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题。

分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点yxQP FE DCBA OE 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化． 解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B （－3，1），若直线经过点A （－3，0）时，则b=32 ，若直线经过点B （－3，1）时，则b=52，若直线经过点C （0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤32，如图1，此时E （2b ，0），∴S=1 2 O E•CO=12×2b×1=b ；②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜52，如图2此时E （－3，b －32），D （2b ﹣2，1），∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）•（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=52b －b 2，∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤<)2523(2523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED ， 又∠MDE=∠NED ，∴∠MED=∠MDE ，∴MD=ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题易知，=12，DH=1，∴HE=2， 设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12，∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE•DH=5 4 ．∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5 4．2．（2011•遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：（1）如果四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =CP ，根据P 、Q 两点的运动速度，结合运动时间t ，求出DQ 、CP 的长度表达式，解方程即可；（2）PH 的长度不变，根据P 、Q 两点的速度比，即可推出QD ：B P=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH =20． 解答：解：（1）∵AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动， ∴DQ =t ，PC =20﹣2t ，∵若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =PC ， ∴20﹣2t =t ，解得：t =203；（2）线段PH 的长不变，∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1，∴QD ：BP =1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE =1：2，∵EF ∥BH ，∴ED ：DB =EF ：BC =1：3， ∵BC =20，∴EF =20 3 ，∴EF PH ：QE QP =13，∴PH =20cm ．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ 和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2． 3．（2011•广州）已知关于x 的二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0） （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△P AB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数．考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C （0，1）代入抛物线即可求出c ；（2）把A （1，0）代入得到0=a ＋b ＋1，推出b =－1－a ，求出方程ax 2＋bx ＋1=0，的b 2－4ac 的值即可；（3）设A （a ，0），B （b ，0），由根与系数的关系得：a ＋b =a a +1，ab =a 1，求出AB =aa -1，把y =1代入抛物线得到方程ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，求出方程的解，进一步求出CD 过P 作MN ⊥CD 于M ，交x 轴于N ，根据△CPD ∽△BP A ，得出=，求出PN 、PM 的长，根据三角形的面积公式即可求出S 1－S 2的值即可． 解答：（1）解：把C （0，1）代入抛物线得：1=0＋0＋c ，解得：c =1， 答：c 的值是1．（2）解：把A （1，0）代入得：0=a ＋b ＋1， ∴b =－1－a ，ax 2＋bx ＋1=0，b 2－4ac =（－1－a ）2－4a =a 2－2a ＋1＞0， ∴a ≠1且a ＞0，答：a 的取值范围是a ≠1且a ＞0；（3）证明：∵0＜a ＜1，∴B 在A 的右边， 设A （a ，0），B （b ，0），∵ax 2＋（－1－a ）x ＋1=0，由根与系数的关系得：a ＋b =a a+1，ab =a1， ∴AB =b －a =ab a b 4)(2-+=aa-1， 把y =1代入抛物线得：ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，解得：x 1=0，x 2=a a +1，∴CD =aa+1，过P 作MN ⊥CD 于M ，交X 轴于N ，则MN ⊥X 轴， ∵CD ∥AB ，∴△CPD ∽△BP A ，∴=，∴=，∴PN=21a -，PM=21a+， ∴S 1－S 2=•a a +1•21a+－••=1，即不论a 为何只，S 1－S 2的值都是常数．答：这个常数是1．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中． 4．（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax 2(a ＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA =OB =22（如图1），求a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点， OA =OB =22，90AOB ∠=︒， ∴2AC OC BC ===，∴ B (2，2-)将B (2，2-)代入抛物线y =ax 2(a ＜0)得，12a =-.（2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，F EyxBAO∴ B (1，12-)， ∴12BF =.又90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=︒，∴△AEO ∽△OFB ，∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，∴ B (1，12-)， ……… 4分 ∴1tan 212OF OBF BF ∠=== 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠， ∴tan tan 2AEAOE OBF OE=∠=∠=，∴ 2AE OE = ……… 5分 设点A （-m ，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 （3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分 (1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴ 12b mn =-又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OEOF BF=，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 化简，得12OC mn =. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OE OFBF=，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,－2）……… 10分 说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+，由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+，化简，得4mn =.5．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）． （1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S =218；（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围． 考点：二次函数综合题。