习题课(2)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为3
2，则a ·b 等于( ) A ．3 B.9
2 C ．2
D.12
解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝3
2， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝9
2. 答案：B
2．已知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－3，则|a ＋b |＝( ) A ．23 B ．35 C.23
D.35
解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝23. 答案：C
3．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π
4得到向量b ，则向量b 的坐标为( )
A ．(－22，－32
2) B ．(22，322) C ．(－322，22)
D ．(322，－22)
解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件，知
|a |＝|b |，a ·b ＝|a ||b |cos45°. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×
5×2
2，
解得⎩⎨⎧
x ＝22，
y ＝32
2，
或⎩⎨⎧
x ＝322，
y ＝－22.
∵向量a 按逆时针旋转π
4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，
∴b ＝(22，32
2)，故选B. 答案：B
4．已知OA →＝(－3,1)，OB →＝(0,5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →
，则点C 的坐标是( )
A ．(－3，－29
4) B ．(－3，29
4) C ．(3，29
4)
D ．(3，－29
4)
解析：设点C 的坐标为(x ，y )，则 AC →＝(x ＋3，y －1)，AB →
＝(3,4)， BC →
＝(x ，y －5)． ∵AC →∥OB →，BC →⊥AB →，
∴⎩⎨
⎧
(x ＋3)×5－0×(y －1)＝0，3x ＋4(y －5)＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，y ＝29
4，
∴C (－3，29
4)．
答案：B
5．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →
有最小值，则点P 的坐标是( )
A ．(－3,0)
B ．(2,0)
C ．(3,0)
D ．(4,0)
解析：设点P 的坐标为(x,0)，则 AP →＝(x －2，－2)，BP →
＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1， 此时点P 的坐标为(3,0)，故选C. 答案：C
6．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →
|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是( )
A ．1
B ．2
C. 2
D. 3
解析：由题意知，D 为BC 的中点， AD →＝12(AB →＋AC →)，
所以AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2
－|AC →
|2)＝1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB →·n |的最大值为________． 解析：AB →＝(2,2)，|AB →|＝22，|AB →·n |≤
|AB →||n |＝4，当且仅当AB →
与n 共线且同向时取等号． 答案：4
8．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
解析：由已知，得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，所以向量a 与b 同向． 又因为向量c 与它们反向， 所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180° ＝3－4－12＝－13. 答案：－13
9．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)的最大值为________．
解析：设AP →＝λAC →
(0≤λ≤22)，则 AP →＋BD →＝λAC →＋AD →－AB → ＝λ(AD →＋AB →)＋AD →－AB → ＝(λ＋1)AD →＋(λ－1)AB →
， PB →＋PD →＝(P A →＋AB →)＋(P A →＋AD →) ＝2P A →＋AB →＋AD → ＝AB →＋AD →－2λAC → ＝(1－2λ)(AB →＋AD →
)， ∴(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)
＝[(λ＋1)AD →＋(λ－1)AB →][(1－2λ)·AB →＋(1－2λ)AD →] ＝(λ＋1)(1－2λ)AD →2
＋(λ－1)(1－2λ)·AB →
2 ＝－16λ2＋8λ(0≤λ≤22)． ∴(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)的最大值为
－82
4×(－16)＝1.
答案：1
三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．
(1)若a⊥b，求k的值；
(2)若|a＋b|不超过5，求k的取值范围．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
即(－2,2)·(5，k)＝0，
(－2)×5＋2k＝0⇒k＝5.
(2)a＋b＝(3,2＋k)，
∵|a＋b|≤5，
∴|a＋b|2＝32＋(2＋k)2≤25，
得－6≤k≤2.
11．(本小题15分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证法1∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
证法2如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c .由题意可知，连接AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，
∴OC ⊥AB ，又∵BA →
＝a －b ，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，
即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1， ∵a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos120°＝－12， ∴k 2－2k >0，解得k <0，或k >2. 即k 的取值范围是k <0，或k >2.
12．(本小题15分)平面直角坐标系内有点P (1，cos x )，Q (cos x,1)，x ∈[－π4，π4]．
(1)求向量OP →和向量OQ →
的夹角θ的余弦值； (2)令f (cos x )＝cos θ，求f (cos x )的最小值． 解：(1)由题意得，
OP →＝(1，cos x )，OQ →
＝(cos x,1)．
∴OP →·OQ →＝2cos x . 又∵|OP →|＝1＋cos 2x ，
|OQ →|＝
1＋cos 2x ，
∴cos θ＝OP →·OQ →|OP →||OQ →|
＝2cos x
1＋cos 2x .
∴向量OP →和向量OQ →的夹角θ的余弦值为2cos x 1＋cos 2
x . (2)由(1)得
f (cos x )＝2cos x 1＋cos 2x ，x ∈[－π4，π
4]． 设t ＝cos x ，则2
2≤t ≤1. ∴f (t )＝2t 1＋t 2
＝2t ＋
1t
，2
2≤t ≤1. 可以证明，当22≤t ≤1时，t ＋1
t 为减函数， 则f (t )＝2t
1＋t 2
是增函数． ∴f (cos x )的最小值是 f (22)＝2×221＋(22)2
＝223.。