i 1 j 1 k 1
a
b
2
1 a b 2 y ij SS T SS A SS B SS AB n i 1 j 1
（五）各项均方的计算
MST SST SST dfT abn 1
MS A
SS A SS A df A a -1 SSB SSB dfB b 1
总自由度：df =abn-1
T

A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
T A B AB
（四）平方和的简便计算方式
SS T y ijk C
j1
b


2、提出假设
H 01： i 0, H A1： i 0 H 02： i 0, H A2： i 0
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
2 2
H 02： 0, H A2： 0
2 2
H 03： 0，H A3： 0，其中i 1,2， ...,a; j 1,2， ...,b
2 2

3、检验统计量的计算
在 F 检验时， A 因素、 B 因素主效应的检验统计量
是以 MSAB 做分母；互作效应的检验统计量以 MSe
二、双因素交叉分组试验设计的描述

（一）双因素试验的数据描述


（二）观测值的描述
（三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式
（五）各项均方的计算
（一）试验数据的描述
B1 y111 y112 ┆ y11n y211 因素A i=1.， 2,3„，a A2 y212 ┆ y21n ┆ ya11 Aa ya12 ┆ ya1n y.1. 因素B j=1.，2,3„，b B2 … y121 … y122 ┆ y12n y221 y222 ┆ y22n ┆ ya21 ya22 ┆ ya2n y.2. … … … … Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn y2b1 y2b2 ┆ y2bn ┆ yab1 yab2 ┆ yabn y.b. ya.. y2.. 和
A1
y1..
┆
┆
和
y…
（二）观测值的描述

对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
y ijk i j ij ijk 其中表示所有观测值的总平 均数
i 表示因素A第i水平的处理效应 j表示因素B第j水平的处理效应 ijk 表示随机误差
ij 表示因素A的第i水平和因素B第i水平的交互效应
23，27
36，34

该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？

如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对
分析结果有无影响？

若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机
模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何
影响？

题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、 混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂 的效果能否严格重复。
第五节 数据变换
第一节 双因素方差分析概述

一、双因素试验汇中的几个基本概念
效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，
如包装方式对果汁销售量的影响。
1 、主效应（ main effect ）：各实验因素相对独立的
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的
相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方
a a n 2 E (MS B ) 2＋ j b 1 i 1

（二）无重复实验时的双因素方差分析
1、观测值的描述
y ijk i j i j，其中i 1,2， ...a; j 1,2， ...b;

i 1
a
i
0； 分布N 0， 2 的 随机变量 j 0； i j为相互独立且服从正态
MS B
MS AB
SS AB SS AB a - 1b - 1 df A
SSe SSe MSe dfe ab（n - 1 ）
第二节 不同实验类型的双因素方差分析

一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型
yijk i j i j i jk，其中i 1,2， ...a; j 1,2， ...b; k 1,2， ...n;
做分母
FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度
与固定效应不同
4、均方期望
E(MSe )
2
2
E(MS A ) ＋n bn
2 2
2
E(MSB ) ＋n an
MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
4、均方期望
E(MSe )
2
bn a 2 E ( MS A ) ＋ i a 1 i 1
2
a n 2 E (MS AB ) ＋ ij （a 1)(b 1) i 1 2
交叉分析。
肥料种类 小麦品种 1 2 3 4
y j
不同条件下小区产量/kg (NH4)2SO NH4NO3 Ca(NO3)2
4
y i
19.5 22.57 13.27 30.13
21.1 24.0 14.2 31.5 22.7
18.0 22.0 13.3 31.4 21.18
19.4 21.7 12.3 27.5 20.23
自由度 3 3 9
均方 197.458 121.792 47.236
统计量F 24.68** 15.22** 5.904**
误差 总和
128 1510.875
16 31
8
查F分布表： F0.95 (3,6) 3.24; F0.99 (3,6) 5.29; F0.95 (9,16) 2.54; F0.99 (9,16) 3.78
变差来源 小麦品种 肥料种类 误差 总和
平方和 442.17 12.47 7.69 462.33
自由度 3 2 6 11
均方 147.39 6.24 1.28
统计量F 115.02** 4.87
小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。

例 2 ：用两种不同的饲料添加剂 A 和 B ，以不同比
例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，
差分析 (Two-factor without replication) ：两个因素
对试验结果。两个因素对试验数据的影响。
4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方
差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因
素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还
会对结果产生一种新的影响。
j1
b


2
AB交互作用误差平方和
SS AB n y ij y i y j y
a b i 1 j 1
2
随机误差项平方和
2 SSe （y ijk y ij） i 1 j 1 k 1 a b n

2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为：
分析的结果可得出什么结论？
肥料种类 小麦品种 1 不同条件下小区产量/kg (NH4)2SO4 21.1 NH4NO3 18.0 Ca(NO3)2 19.4
2
3 4
24.0
14.2 31.5
22.0
13.3 31.4
21.7
12.3 27.5
题解

解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品
种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组
（三）平方和与自由度的分解

1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
A因素误差平方和
SS A bn y i y
i 1
a
2
B因素误差平方和 SS B an y j y
2 i 1 j 1 k 1
b
a
b
n
SS A 1
bn i 1
a
y an
a
y j C
2 j1 b 2
SS AB n y ij y i y j y
i 1 j 1
n
SSe y ijk
所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与 添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。

随机模型下：
FA MS A 4.18* * MS AB
MS B FB 2.58 MS AB
FAB
MS AB 5.904* * MSe


查F分布表： F0.95 (3,9) 3.86; F0.99 (3,9) 6.99
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标

掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、
无重复观察值）资料的方差分析方法。