a b
2
SST
X ij X
i1 j 1
可分解为：SST SSA SSB SSE
a
2
SSA b X i. X
i 1
b
2
SSB a X . j X
j 1
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
a b
X ij
i 1
i1 j 1
X. j T. j a X .1 X .2 ... X .b
X 1T ab
➢ 无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 X ij i j ij
其中
1 ab
a i 1
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
例1的上机操作
原始数据，行因素水平，列因素水平
对应例1 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A 因素B 误差 总和
SS A SSB SSE SST
df A
MS A
SS A df A
df B
MSB
SSB df B
df E
MSE
SSE df E
dfT
F值
FA
MS A MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F (b 1 , a 1 b 1)
若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设
成立，则 Xijk ~ N , 2
可推得： SSA
2
~
2 a 1,
SSB
2
~
2 b 1,
SST
2
~ 2 abn 1
SS AB
2
~
2 a bn 1
则
FA
SS A SSE
df A df E
MSA ~ F MSE
注意
df E
dfT
df A
fB,
SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方
和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SSA DA p, SSB DB p
SSE R DA DB p, SST R p
其中： DA
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij X ij ij
试验误差
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij X ij ij
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
A1
X11 X12 ... X1b
T1.
X 1.
...
... ... ... ... ...
...
Aa
X a1 X a2 ... X ab
Ta.
X a.
a
ab
T. j Xij T.1 T.2 ... T.b T
2
SSE
X ij X i. X . j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~ N , 2
可推得：
SST
2
~ 2 ab 1
SSA
2
~
2 a 1
SSB
2
~
2 b 1
SSE
2
~
2 a 1b 1
将
SST
2
,
SS A
2
,
a b n
2
SST
X ijk X
i1 j1 k 1
可分解为： SST SSA SSB SSAB SSE
SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验 指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和， 反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平 方和，反映试验误差对试验指标的影响。
各因素，各水平，各交互作用下的均值。
作业 P195 3 4（借助软件完成）
预习第三节 正交试验设计 及其统计分析
R
X
2 ij
31678
i1 j1
DA
1 b
a
Ti.2
i 1
23495
DB
1 a
b
T.
2 j
j 1
42040.67
p T 2 31212 ab
SST R p 466
dfT n 1 11
SSA DA p 114.67
dfA a 1 3
SSB DB p 318.5
dfB b 1 2
SSE SST SSA SSB 32.83 dfE dfA dfb 6
MSA SSA dfA 38.223
MSB SSB dfB 159.25
MSE SSE dfE 5.47 FA MSA MSE 6.98 FB MSB MSE 29.10
F0.05 3,6 FA F0.01 3,6
~ F a 1, a 1b 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~ F b 1, a 1b 1
对给定的检验水平 ，
当 FA F a 1, a 1b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 FB F b 1, a 1b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
因素 B 因素 A
B1
X111
A1
...
X11n
...
B2
...
Bb
X121
...
X1b1
...
...
...
X12n
...
X1bn
......
X a11
X a21
...
X ab1
Aa
...
...
...
...
X a1n
X a2n
...
X abn
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
其中
1 ab
a i 1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij
ij
i
j
交互效应
ijk X ijk ij 试验误差
a
b
特性： i 0; j 0;
i 1
j 1
a
b
ij 0; ij 0; ijk ~ N 0, 2
B2
6.15 7.86 7.38 7.05 6.30 5.81 6.54 6.63
B3
4.93 5.59 6.10 5.46 3.33 2.85 3.60 3.19
输入数据时，C2表示行因素 水平，C3表示列因素水平。 第几次重复不必列明，软件
自会识别。
结果显示如P185
均<0.01
饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同 及两者的交互作用对鱼的体重的影响极 有统计意义。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
因素B
总平均 的效应
试验误差
Xijk i j ij ijk
观测值
因素A
交互作用
的效应 的效应
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 Xijk i j ij ijk
试验误差
a
b
特性： i 0; j 0; ij ~ N 0, 2
i 1
j 1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 L a 0 H02 : 1 2 L b 0
➢ 总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
丁
53 58 48
a
T. j Xij i 1
197 232 183
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159