双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。

主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。

双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。

（二）关键词：双因素 方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。

每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。

有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。

根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。

本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。

（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。

（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。

因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。

因 素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。

这里，ij μ，2σ均为未知参数。

或写成 ijk X =ij μ+ijk ε，ijk ε~),0(2σN ，各ijk ε独立， r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=; t k ,...,2,1=. 引入记号μ=ij sj r i rs μ∑∑==111，∙i μ=ij sj s μ∑=11，r i ,...,2,1=j ∙μ=ij ri r μ∑=11，s j ,...,2,1=i α=∙i μ-μ，r i ,...,2,1= j β=j ∙μ-μ，s j ,...,2,1=。

易见i r i α∑=1=0，j sj β∑=1=0.称μ为总平均，称i α为水平i A 的效应，称j β为水平j B 的效应。

这样可将 ij μ表示成ij μ=μ+i α+j β+(ij μ-∙i μ-j ∙μ+μ),r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=.记 ij γ=ij μ-∙i μ-j ∙μ+μ，r i ,...,2,1=，s j ,...,2,1=， 此时ij μ=μ+i α+j β+ij γ.ij γ称为水平i A 和水平j B 的交互效应，这是由i A ，j B 搭配起来联合其作用而引起的。

易见,01=∑=ij ri γs j ,...,2,1=，,01=∑=ij sj γr i ,...,2,1=.这样（2.1）可写成ijk X =μ+i α+j β+ij γ+ijk ε， ijk ε~),0(2σN ，各ijk ε独立，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=； t k ,...,2,1=， i r i α∑=1=0，j s j β∑=1=0， ij r i γ∑=1=0，ij sj γ∑=1=0.其中μ，i α，j β，ij γ及2σ都是未知参数。

（2.5）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型。

对于该模型我们要检验三个假设：01H :1α=2α=...=r α=0，11H ：1α，2α，...，r α不全为零， 02H ：1β=2β=...=s β=0, 12H :1β,2β,...,s β不全为零， 03H ：1γ=2γ=...=rs γ=0， 13H ：1γ，2γ，...，rs γ不全为零. 平方和的分解：X =ijk tk s j r i X rst ∑∑∑===1111，·ij X =ijk tk X t ∑=11，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=；贩i X =ijk tk s j X st ∑∑==111，r i ,...,2,1=，··i X =ijk tk r i X rt ∑∑==111，s j ,...,2,1=； 再引入总偏差平方和（称为总变差） T S =2111)(X X ijk tk sj ri -∑∑∑====2i ij 111)]--()-()()[(X X X X X X X X X X j j i ij ijk tk sj ri +++-+-∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙===∑∑∑=2111)(∙===-∑∑∑ij ijk t k s j r i X X +21)(X X st i ri -∙∙=∑+21)(X X rt j sj -∙∙=∑+2i ij 11)--(X X X X t j sj r i +∙∙∙∙∙==∑∑即得平方和的分解式T S =E S +A S +B S +B A S ⨯, 其中 E S =2111)(∙===-∑∑∑ij ijk tk sj ri X X ，A S =21)(X X st i ri -∙∙=∑，B S =21)(X X rt j sj -∙∙=∑,B A S ⨯=2i ij 11)--(X X X X t j sj r i +∙∙∙∙∙==∑∑.E S 称为误差平方和，A S ，B S 分别称为因素A 、因素B 的效应平方和，B A S ⨯称为A ，B 交互效应平方和。

可以证明B A B A E T S S S S S ⨯,,,,的自由度依次为1-rst ，)1(-t rs ，1-r ，1-s ，)1)(1(--s r ，且有2))1((δ=-t rs S E E，（2.14） 1)1(122-+=-∑=r st r S E ri Ai αδ，（2.15） 1)1(122-+=-∑=s rt s S E sj j B βδ，（2.16） )1)(1())1)(1((1122--+=--∑∑==⨯s r t s r S E ri sj ij B A γδ.（2.17） 当021:01====r H ααα 为真时，可以证明~))1(/()1/(--=t rs S r S F E A A ))1(,1(--t rs r F . (2.18)取显著性水平为α，得假设01H 的拒绝域为≥--=))1(/()1/(t rs S r S F E A A ))1(,1(--t rs r F α. (2.19)类似的，在显著性水平α下，假设02H 的拒绝域为≥--=))1(/()1/(t rs S s S F E B B ))1(,1(--t rs s F α. (2.20)在显著性水平α下，假设03H 的拒绝域为≥---=⨯⨯))1(/())1)(1/((t rs S s r S F E B A B A ))1(),1)(1((---t rs s r F α. (2.21)上述结果可汇总成下列的方差分析表：表9-9 双因素试验的方差分析表方差来源 方差和 自由度 均方 F 比因素A A S 1-r 1-=r A A S S S S F EA A =因素BB S1-s1-=s BB S SS S F EB B =交互作用B A S ⨯)1)(1(--s r)1)(1(--⨯=⨯s r BA B A S S S S F EB A B A ⨯=⨯误差 E S )1(-t rs)1(-=t rs EE S S总和 T S1-rst记 =...T ∑∑∑===r i s j tk ijk X 111,=.ij T ∑=tk ijk X 1,,,,2,1;,,2,1s j r i ===..i T ∑∑==tk ijk sj X1,1 ，r i ,,2,1 ==..j T ∑∑==tk ijk ri X1,1.,,2,1s j =我们可以按照下述（2.22）式来计算上表中的各个平方和.T S =,rst 11122∑∑∑===⋅⋅⋅-ri sj tk ijkT XA S =∑=⋅⋅-r i i T T st 1,2...2rst1B S =∑=-s j j T T rt 1,2...2..rst1 (2.22)B A S ⨯=,)1(1122∑∑==⋅⋅⋅⋅---r i s j B A ij S S rstT T t.B A B A T E S S S S S ⨯---=（二）双因素无重复试验的方差分析因 素A因素B1B2B...s B并设ij X ~ij N （ij μ，2σ），各ij X 独立， i=1，2，...，r ； j=1，2，...，s ， 其中ij μ，2σ均为未知参数。

或写成ij X =ij μ+ij ε，i=1，2，...，r ； j=1，2，...，s ， ij ε~N （0，2σ）， 各ij ε独立.沿用（一）中的记号，注意到现在假设不存在交互作用，此时ij γ=0，i=1，2，...，r ；j=1，2，...，s.故由ij μ=μ+ij j i γβα++知ij μ=+μj i βα+.于是上式可写成 ij X =μ+ij j i εβα++， ij ε~N （0，2σ），各ij ε独立， i=1，2，...，r ；j=1，2，...，s ， .0,011==∑∑==sj j ri i βα这就是现在要研究的方差分析的模型。

对这个模型我们所要检验的假设有以下两个：,0:2101====r H ααα r H ααα,,,:2111 不全为零. ,0:2102====s H βββ1A 11X 12X ... s X 1 2A 21X 22X ... s X 2 r A 1r X2r X...rs Xs H βββ,,,:2112 不全为零. 与在（一）中同样的讨论可得方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方F 比 因素A A S 1-r1-=r S S A AE A A S SF /= 因素B B S 1-s 1-=s S S BB E B B S S F /=误差E S()()11--s r)1)(1(--=s r S S EE总和T S1-rs取显著性水平为α，得假设0:2101====r H ααα 的拒绝域为 ()()().11,1---≥=s r r F S S F EAA α 假设0:2102====s H βββ 的拒绝域为 ()()().11,1---≥=s r s F S S F EBB α上表中的平方和可按下述式子来计算：,2..112rs T X S ri sj ijT -=∑∑==rs T T s S r i i A 2..121-=∑=⋅,rs T T r S s j j B 2..121-=∑=⋅，,B A T E S S S S --= 其中， ,11..∑∑===r i s j ij X T ,,...,2,1,1r i X T sj ij i ==∑=⋅,,...,2,1,1s j X T ri ij j ==∑=⋅（五）例题：在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B ）与时间（因素A ）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如下表所示。