Probability & Statistics
概率论与数理统计
主讲人： 胡朝浪
Cl_hu@ 四川大学数学学院
2020/3/31
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概率论的诞生
分赌注问题：甲、乙两个赌徒按某种 方式下注赌博，说定先胜t局将赢得全 部赌注。但进行到甲胜r局，乙胜s局， （r,s<t）因故不得不中止，试问如何 分配这些赌注才公平合理？
解: (1) A B C
(2) ( A C ) B
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例1.2
(3)至少两门优秀
AB AC BC
(4)恰有两门优秀;
ABC ABC ABC
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§1.2事件发生的概率
我们关心某个随机事件A发生的可能 性大小：
想法：用P(A)来度量，P(.)的取值 跟A有关，即：用一个与A有关函数 来定义。因此：P(.)是个集函数。
2 P() 1
3 对 于 两 两 互 不 相 容 的 事件A1 , A2 , ,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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概率的性质
1 P( ) 0
2 A, B互斥（即AB ）
P( A B) P( A) P(B)
一般地，若
Ai Aj (i, j 1,2, , n.i j)
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事件B就是 的一个子集
B发生当且仅当B中的样 本点1，3，5中的某一个 出现.
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从集合的角度看
A
B

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§1.1.3 事件的关系及运算
1.事件的包含与相等
A B A 发生必然导致 B 发生
例如: A={1}，B={1，3，5}
A B A B且B A
2. A B {A,B中至少一个发生}
n
n
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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概率的性质
AΩ
3 P(A) 1 - P(A)
A
4P( A B) P( A) P( AB)
Ω
特别：若B A,则
B A-B
P( A B) P( A) P(B)
小结论:
A B,则P( A) P(B) A B
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§1.1.2样本空间sample space
Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω
为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结
果称为样本点，记作ω.
.
样本点
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随机事件event----样本空间的子集 . 例：掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间： = { 1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
A (B C) (A B) C
• 分配律 A (B C) ( A B)( A C)
A (B C) ( A B) ( A C)
• 对偶律 A B A B, A B A B
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例1.1
检查产品质量时，从一批产品中任意抽取
5件进行检查，设事件
Ai {发现i件次品}，i 0,1,..,5
Ω
B A-B
5. A与B互不相容（或互斥）
A B
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§1.1.3（续）
Ω
6. A 的对立事件 A
AA
须满足：AA , A A ,
注意对立事件与互斥的区别
综上得一般结论：1) A A,
2)A B AB A AB
3)AU B A (B A)
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n
Ai {A1,…An中至少一个发生}
i 1
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§1.1.3 事件的关系及运算
3. A B(或AB) {A,B同时发生}
例如：A={1，3，5}； B={2，4，6}，则
AB=
说明AB同时发生是不 可能事件；
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§1.1.3 事件的关系及运算
4. A－ B ={A发生而B不发生}
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§1.1.3 事件的关系及运算
7. A1, A2,…,An 构成 完备事件组
(1) Ai Aj (i j),
n
(2) Ai
i 1
完备事件组将样本空间分为有限个
互不相容的事件的和。
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运算律：(Page4)
• 交换律 A B B A, A B B A • 结合律 A (B C ) ( A B) C,
巴斯卡和费马在1654年给出了正确的 解法。
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第一章 概率论基础知识
§1.1 样本空间与随机事件
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§1.1.1 随机试验
随机试验的三个特点: 1.可以在相同条件下重复进行；
2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围；
3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
请用集合表示下列事件：
（1）完备事件组； A0 , A1 ,..., A5
（2）发现两件或三件次品； A2 A3
（3）最多两件次品；A0 A1 A2
（4）至少一件次品；A0
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例1.2
事件A,B,C分别表示一同学高数、线代、 概率三门课程成绩优秀,请用事件的关系 运算表示(1)仅有线代优秀; (2)高数,概率至少一门优秀而线代不优秀; (3)至少两门优秀;(4)恰有两门优秀;
fn(A) 0.5070
K.皮尔 12000 6019 0.5016
逊
24000 12012 0.5005
K.皮尔 2020/3/31
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§1.2.2概率的公理化定义
设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对 于每一个事件A赋予一个实数 P(A),称为 事件A 的概率，如果它满足以下三条：
1 对于每一个事件 A有 0 P(A) 1
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例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，
可能结果为:
第1次 (H,H): H (H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
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第2次
H T H T
可见，该随机试验 的所有可能的结果， 构成一个集合：
={(H,H), (H,T),
(T,H), (T,T)} 我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间。
下面考虑该集函数的应具有的性质。
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§1.2.1 频率及性质
定义1.1 在n次重复试验中，若事件A发生
了k 次，则称k为事件A发生的频数，称 k / n
为事件A发生的频率，记为 fn ( A)
大量实践表明：频率有波动性，但随着试
验次数增加，频率总稳定在某个值附近。
试验者
n
nA
蒲丰 4040 2048