由此得
M ( x)
q0l x4 x3 x 2q0 3 6l 2 3l
根据上述方程，画剪力与弯矩图分别如图 b 与 c 所示，最大剪力与弯矩分别为
FS,max
q0l 3
M max
5q0l 2 48
5-13
在图示梁上，作用有集度为 m= m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力与
端时，梁支座内侧截面 A+ 或 B- 出现最大剪力，其绝对值为
d ) l
5-11
图。
图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩
题 5-11 图 (a)解：1.建立剪力、弯矩方程 设截面 x 处的载荷集度为 q( x ) ，由图 5-11(1)可知，
(b)
5-15
试绘制图示杆件的内力图， 并利用题 5-14 所述微分关系检查内力图的正确性。
题 5-15 图 解：题(a)的轴力图与题(b)的扭矩图，分别如图 5-15a 与 b 所示，最大轴力与最大扭矩分 别为
FN,max
ql 2
Tmax ml
11
图 5-15
5-16
图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷 q 作用。试画杆的内力图，并利
第五章 弯曲内力
5-3
试证明，在集中力 F 作用处（图 a） ，梁微段的内力满足下列关系：
FS右 FS左 F , M 右 M 左
而在矩为 Me 的集中力偶作用处（图 b） ，则恒有
FS右 FS左,
M右 M左 Me
题 5-3 图 证明：根据题图 a，由
Fy 0，FS左 F qdx FS右 0
图 5-6
5-8
最小。
图示外伸梁， 承受均布载荷 q 作用。 试问当 a 为何值时梁的最大弯矩值 （即 M
max
）
题 5-8 图 解：1.求支反力 由对称性可知，二支座的支反力相等（见图 5-8a） ，其值为
2
FCy FDy
ql () 2
图 5-8 2．画弯矩图 根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图 b 所示。 3．确定 a 值 由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、C 与处弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯 矩值才可能最小，由此得
M 1 (η) FAy η
由
F [(2l d )η 2η 2 ] l
dM 1 ( η) 0 dη
( 0ηl d )
(a)
得
η
此即左轮处 M 1 达最大值的左轮位置。 将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为
2l d 4
(b)
M max
F (2l d ) 2 8l


剪力方程为
FS ( x ) FSA q( )d
0
x
q0 l x 2 4q0 l2 l d 3 0
由此得
FS ( x )
弯矩方程为
q0l x3 x2 4q0 3 3l 2 2l
x x q l 3 2 M ( x ) M A FS ( )d 0 0 4q0 3l 2 2l d 0 0 3
(a)
F
得
y
0，FS dFS FS 0
dFS 0
或写成
dFS 0 dx
式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。
(b)
5-14
对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度 q 或扭力偶矩集度 m）与相应
内力（轴力或扭矩）间的微分关系。
题 5-14 图 解：在横截面 x 处取微段 dx ，其受力如图 5-14a 和 b 所示。
dx
dx
M右 M左
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由
Fy 0，FS左 qdx FS右 0
略去微量 qdx 后，得
FS右 FS左
仍据题图 b，由
1
M C 0，M 右 M e qdx( 2 ) FS左dx M 左 0
q0 a 3
图 5-11b 为研究方便，选取图 5-11b(2)所示左半跨梁 AC 为研究对象。 显然，截面 C 的剪力与弯矩分别为
FSC
还可以看出，横截面 x1 的载荷集度为
q0 a 6
,
q0 x1 a
MC 0
qx
于是得 AC 段的剪力与弯矩方程分别为
q0 a q x1 x1 qa q 2 0 0 x1 6 2 6 2a q x1 x1 x1 q0 a q0 a q 3 M ( x1 ) x1 x1 0 x1 6 2 3 6 6a 同理，以右半跨梁 CB 段为研究对象[图 5-11b(3)],得相应剪力与弯矩方程分别为 qa q 2 FS ( x2 ) 0 0 x2 6 2a FS ( x1 )
用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。
题 5-16 图 (a)解:坐标自左端向右取，内力 FN 0，Fs 0 ，其 M 图则如图 5-16a 所示。
l (0 x1 ) 2 l (0 x2 ) 2 l (0 x1 ) 2 l (0 x2 ) 2
(i) ( j) ( k) (l)
依据式 (i) 与 (j) 可绘剪力图，如图 5-11d(2) 所示；依据式 (k) 与 (l ) 可绘弯矩图，如图 5-11d(3)所示。注意在 x2 l / 4 处， FS2 0 ， M 2 取极值，其绝对值为
M 2 max
7ql 2 96
5-12 图示简支梁，承受分布载荷作用，其集度表达式为
x2 x q 4q0 2 l l
8
式中，q0 代表载荷集度的最大绝对值。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。
题 5-12 图 解：分布载荷的合力为
l x 2 x dx 4q l 3 l 2 2q0l FR 4q0 0 0 3 l2 l 3l 2 2l
1 2 1 1 ql qla qa2 8 2 2
解此方程，得
a
舍去增根，最后确定
1 2 l 2
a
2 1 l 0.207l 2
5-9
图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为 F。试问：
(1) 小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值； (2) 小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。
5
算出 A 与 B 两端的 FS 与 M 值， 并考虑到上述曲线形状， 即可绘出 FS 与 M 图， 如图 5-11a （3）和（4）所示。 (b)解：由图 5-11b(1)可知，半跨梁上分布载荷的合力为
FR
q0 a 2
于是由平衡方程 M B 0 与 M A 0 ，得支反力为
FAy FBy
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 FS左 F
为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为
FS右 FS左 F
仍据题图 a，由
M C 0，M 右 F ( 2 ) qdx( 2 ) FS左dx M 左 0
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
q( x )
q0 x l
图 5-11a 由图 5-11a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为
Fs
q x2 q( x ) x 0 2 2l q0 x 3 x x M [q( x ) ] 2 3 6l
(0 x l ) (0 x l )
(a) (b)
2．画剪力、弯矩图 由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹 曲线。
l (0 x1 ) 2 l (0 x 2 ) 2 l (0 x1 ) 2 l (0 x 2 ) 2
(e) (f) ( g) ( h)
7
3．画剪力、弯矩图 依据式（e）与(f)可绘剪力图，如图 5-11c(2)所示；依据式(g)与(h)可绘弯矩图，如图 5-11c(3)所示。注意在 x2 11l / 24 处， FS2 0 ， M 2 有极大值，其值为
(c)
由对称性可知，当 η (2l 3d ) / 4 时，右轮处的 M 2 达到最大，其值同式(c)。 3．确定最大剪力值及小车位置 由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为
F ( 2l 2η d ) ( 0ηl d ) l F FS2 FBy ( 2η d ) (0ηl d ) l 二者都是 η 的一次函数，容易判断，当 η 0 或 η (l d ) 时，即小车无限移近梁的左端或右 FS1 FAy
弯矩间的微分关系。
9
题 5-13 图 解：在截面 x 处取微段 dx ，其受力图如图 5-13 所示。
图 5-13 根据图示，由
M C 0，M dM M FSdx m( x)dx 0
得
dM FSdx m( x)dx
或写成
dM FS m dx
其中 C 为微段右端截面的形心。 又由
10
图 5-14 根据图 a，由
F
得
x
0，FN dF Nq( x )dx F N 0
dF N q( x)dx 0
或写成
dF N q dx
根据图 b，由
(a)
M x 0，T dT m( x)dx T 0
得
dT m( x)dx 0
或写成
dT m dx
M max M
(c)解：1．求支反力