hd
aw .c om
8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 证 ⑴ ⑵
|sin x − sin y | ≤ | x − y | ;
ny n −1 ( x − y ) < x n − y n < nx n −1 ( x − y ) (n > 1, x > y > 0) ;
b−a b b−a < ln < b a a (b >− f (−1) = 0 ，但 ∀ξ ∈ ( −1,1), ξ ≠ 0, f '(ξ ) = ±1 ≠ 0 。 1 − (−1)
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可微。利用辅助函数
x ψ( x ) = a b f (x) 1 f (a ) 1 f ( b) 1
案 网
几何意义：在 [ a , b ] 上连续、在 ( a , b ) 上可导的非线性函数，必定在
课
解
由 Lagrange 中值定理，
a
1
arctan
与 n 之间。当 n → ∞ 时， 1 + ξ 2 趋于 1，所以
a a ⎞ ⎛ arctan − arctan ⎜ ⎟ a a ⎞ na ⎝ n n +1⎠ ⎛ = ⋅ lim n 2 ⎜ arctan − arctan lim ⎟ n →∞ a a n n + 1 ⎠ n→∞ n + 1 ⎝ − n n +1
的两倍。
5． 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后 答
案 网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积
ww w
97
几何意义：以 ( x, f ( x)), (a, f (a )), (b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时
第五章
习
微分中值定理及其应用
题 5.1 微分中值定理
⒈ 证
设 f +′( x 0 ) > 0 ， f −′( x 0 ) < 0 ，证明 x 0 是 f ( x ) 的极小值点。 由 f +′( x 0 ) > 0 ， 可 知 当 δ > 0 足 够 小 时 ， 若 0 < x − x0 < δ ， 则
后 答
f ( x1 ) − f ( x2 ) |≤ lim | x1 − x2 |= 0 ，故 f '( x2 ) = 0 ，再由 x 2 的 x1 → x2 x1 − x2
案 网
9． 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上定义，且对任何实数 x1 和 x 2 ，满足
| f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ ( x1 − x2 ) 2 ，
f '( x) = 1 1− x
2
−
1 1 − x2
≡ 0, ∀x ∈ (0,1) 。
由于 f ( x) 在 [0,1] 连续，所以 f ( x) ≡ f (0) =
π
2
。
1 1 2 2
（ 2 ）令 f ( x) = 3arccos x − arccos(3x − 4 x3 ) ，注意到 1 − 4 x 2 ≥ 0, ∀x ∈ (− , ) ， 所以
1− x
2 3 2
由于 f ( x) 在 [− , ] 连续，所以 f ( x) ≡ f (0) = 3 −
2
1 1 2 2
ww w
100
f '( x) =
2 + 1 + x2
1 2(1 + x 2 ) − 4 x 2 ≡ 0, ∀x > 1 。 (1 + x 2 ) 2 2x 2 1− ( ) 1 + x2
足 够 小 时 ， 若 − δ < x − x0 < 0 ， 则
f ( x) − f ( x0 ) > 0 。从而命题得证。
f ( x ) − f ( x0 ) <0 ， 于 是 也 有 x − x0
f ′( x1 ) ⋅ f ′( x 2 ) < 0 ，证明在 x1 和 x 2 之间至少存在一点 ξ ，使得 f ′( ξ ) = 0 。
ex > 1+ x
( x > 0) .
| sin x − sin y |=| cos ξ ⋅ ( x − y ) |≤| x − y | 。
x n − y n = nξ n −1 ( x − y ), 其中 x > ξ > y > 0 。由 x n −1 > ξ n −1 > y n −1 > 0 得到 ny n −1 ( x − y ) < x n − y n < nx n −1 ( x − y ) (n > 1, x > y > 0) 。
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
⑶ ln = ln b − ln a = (b − a) ，其中 b > ξ > a > 0 。由于 < < ，所以
ξ ξ
b a
1
aw .c om
1 b 1
1 a
证明 f ( x ) 在 [ a , b ] 上恒为常数。
课
证
对任意固 首先由 | f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ ( x1 − x2 ) 2 可知 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续。
案 网
ww w
2． （Darboux 定理）设 f ( x ) 在 ( a , b ) 上可导， x1 , x2 ∈ ( a , b ) 。如果
.k
hd
aw .c om
f ( x) − f ( x0 ) > 0 ，于是 f ( x) − f ( x0 ) > 0 ；同理，由 f −′( x 0 ) < 0 ，可知当 δ > 0 x − x0
ww w
99
⑷
e x − 1 = e x − e0 = eξ ( x − 0) > x, x > ξ > 0 。
.k
b−a b b−a 。 < ln < b a a
hd
⑶
2 arc tan x + arcsin
2x = π ， x ∈ [1,+∞ ) . 1+ x2
证（1）令 f ( x) = arcsin x + arccos x ，则
证
显然 x1 ≠ x2 ，不妨设 x1 < x2 。若 f ′( x1 ) > 0 ，则 f ′( x2 ) < 0 ，仿照习题 1
不是 f ( x) 的最大值点，于是 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 的最大值点 ξ ∈ ( x1 , x2 ) ，并且 成立 f ′( ξ ) = 0 。若 f ′( x1 ) < 0 ，则 f ′( x2 ) > 0 ，同样可证 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 的最 小值点 ξ ∈ ( x1 , x2 ) ，并且成立 f ′( ξ ) = 0 。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 所以 Lagrange 中值定理 [−1,1] 上的符号函数 sgn( x ) 在 x = 0 不连续，
⎧0, ⎪ f ( x) = ⎨ − ( n + 2) 1 3⋅ 2 + 2− ( n + 2) cos( − n)π , ⎪ x ⎩ x = 0; 1 1 < x ≤ , n = 1, 2,". n +1 n
课
后 答
11．设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导。证明：若 ( a , b ) 中除
x1 → x2
定的 x2 ∈ (a, b) ，lim |
任意性， 得到 f '( x) 在 (a, b) 上恒等于 0。 所以 f ( x ) 在 [ a , b ] 上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ ⑵
arcsin x + arccos x = π ， x ∈ [0,1] ； 2
⎡ 1 1⎤ 3 arccos x − arccos(3x − 4 x 3 ) = π ， x ∈ ⎢− , ⎥ ； ⎣ 2 2⎦
证明 Lagrange 中值定理，并说明 ψ ( x ) 的几何意义。 证 显然ψ (a ) = ψ (b) = 0 ，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在
1 ψ '(ξ ) = a b
f '(ξ ) 0 f (a) 1 = f '(ξ )(b − a) − [ f (b) − f (a)] = 0 ， f (b) 1
hd
f ′(ξ ) 。 g ′(ξ )
aw .c om
( a , b ) 内存在一点 ξ ，使得
至少存在一点 η ，满足
| f ′ ( η) | > | f ( b) − f ( a ) |， b−a
并说明它的几何意义。 证 由于 f ( x ) 是非线性函数，所以在 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ ，使得
f (1) − f (−1) = 1 ，不存在 ξ ∈ ( −1,1), f '(ξ ) = 1 。 1 − (−1)