第八章作业分析（2007/05/23）8.2 三个电量为q-的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，点电荷Q(Q>0)Q之值应为多大？q-解：由题222141rqff⋅==πε，2)32(4hqQfπε=，而ff3=，rh23=，联立解之：qQ33=8.5 一个电偶极子的电矩为lP q=，证明此电偶极子轴线上距其中心为r(r>>l)处的一点的场强为34/2rPEπε=。

解：由题241++⋅=rqEπε，241--⋅=rqEπε，而22222rlrr+⎪⎭⎫⎝⎛==-+由对称性可知+E、-E的沿中垂线方向方量相互抵消，只剩平行于l的方向，则：32142cos2++++⋅=⋅⋅42==rqlrlrqEEπεπεθ而r>>l，即t+≈r∴34rpEπε=8.7 有一长度为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线段, 求直线的延长线上距近端为R的P点处的场强。

x dx x0解：取线地dx 有：dx dq λ=∴ 2041x dxdE λπε⋅=∴ )(44102L R R Lx dxE L R R+⋅=⋅=⎰+πελλπε 方向沿带电直线8.9 如图8-43，一个细的带电塑料圆环，半径为R ，所带电荷线密度λ和θ有θλλsin 0=的关系，求在圆心处的电场强度的方向和大小。

解：取线元dl ，有：θd R dl ⋅=∴ )(sin 41410002R d RR Rd E d-⋅⋅=⋅=θθλπεθλπε∴ 0cos sin 42000=-=⎰θθθπελπd RE xRd R E y 00220004sin 4ελθθπελπ-=-=⎰8.11 如图8-45所示，有宽度为L ，电荷面密度为σ的无限长均匀带电平面，求在与带电平面共面的P 点处的场强。

dx x x解： 取宽度为dx 的无限长，其在P 点的场强为：xa L dx r dE -+⋅⋅=⋅=121200πεσπελ方向均垂直于带长方向且向外 ∴ ⎰+=-+⋅=L LaL x R L dx E 000ln 22πεσπεσ8.13 (1) 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，通过此立方体的每一面的E 通量各是多少？(2) 若电荷移至正立方体的一个项点上，那么通过每个平面的E 通量又各是多少？解：(1) 由对称性可知立方体的六个面对中心完全对称，应平分总通量6εφqe =(2) 若移至某一顶点则与该顶点相连的三个面由于E始终在面内所以0=e φ，而另三个面的通量可用补的思想，设法把此顶点置于一个更大的立方体中心，则此时那三个面完全对称地占了总通量的241461=⨯，即024εφq e =8.15 在图8-47所示的空间内电场强度分量为2/1bx E x =，0==c y E E ，其中/C m N 8001/2-⋅=b ，试求：(1) 通过正立方体的E 通量；(2) 正立方体的总电荷是多少？设a =10cm ；解：(1) 与x 轴方向平行的四个面0=e φ，另两个面中靠近原点的那个面正通量为：53.2211-=⋅⋅-=⋅-=a x b S E x e φN.m 2/c ；同理另一个正通量为：/C m .N 58.32222==x b a e φ ∴ 总通量 05.112=+=e e e φφφ N.m 2/C (2) 由高斯定理：0εφqe =∴1201029.9-⨯==e q φε C8.19有一半径为R 的带电球体，电荷密度为r k /=ρ(即电荷密度与半径成反比)，设k为已知常数。

试求球体内外各点的场强分布。

解：由电荷呈球对称分布，取半径r 的同心园球面。

24r E ds E Sπ⋅=⋅→⎰而202021411kr dr r q r πεπρεε⋅=⋅=∑⎰，由高斯定理① 若r <R ，则：02εk E =② 若r >R ，则202202122141r kR kR r E ⋅=⋅⋅=επεπ 8.21 有一均匀带电球体，半径为R ，电荷体密度为ρ，今在球内挖去一半径为r (r <R )的球型空腔，求证此空腔内的电场是均匀的。

若带电球体的球心与球型空腔球心距离为d ，求电场强度的大小。

解：用双重填补的思想，完整的均匀带电球体在体内任一点的电场强度为1013r Eερ=，在此基础上再要格的空腔内填充相同密度的相反电荷即可实现最后结果，同理同腔内叠加的电场应为2023r Eερ-=∴ d r r E ⋅=-=02103)(3ερερ方向沿O 指向O '点，可知腔内为均匀电场。

8.23 一无限长的均匀带电圆筒，内、外半径分别为R 1和R 2，电荷密度为ρ。

求距离圆筒轴线为r 的场点的电场强度，并画出r E ~曲线。

解：柱对称场，取r 、h 同心圆柱面rh E ds E Sπ2⋅=⋅⎰→，由高斯定理① 1R r <，由01=∑q ε，则0=E ② 21R r R <<，011εε=∑q h R r )(212ππρ-⋅∴ )(2210rR r E -=ερ③ 2R r >，由h R R q )(1121220ππρεε-=∑∴ )(221220R R rE -=ερ8.25 如图8-48所示，一厚度为b 的无限大带电平板，电荷密度分布为)0(b x kx ≤≤=ρ，k 为一个正常量。

求： (1) 平板外两侧任意一点的场强； (2) 平板内任一点的场强；(3) 场强为零的点在何处？dx解： （1）取厚dx 的无限大薄板，(1) 对左边的P 1点：22000421221εερεkb b k dx E b-=⋅-=⋅-=⎰同理右边的P 2点：024εkb E =(2) 平板内距左边r 处的P 点：)2(4212122000021b r kPdx Pdx E E E rb r -=-⋅=-=⎰⎰εεε(3) 由E =0有：b r 22=8.27 一均匀带电细杆，长l =15.0cm ，电荷线密度C/m 100.27-⨯=λ，求： (1) 细杆延长线上与杆的一端相距a =5.0cm 处的电势； (2) 细杆中垂线上与细杆相距b =5.0cm 处的电势。

解 ：(1) 取线元dx ，dx dq λ=，有xdxdV λπε⋅=41∴V 105.2ln 44300⨯=+⋅=⋅=⎰+l a aala x dx V πελπελ (2) 取线元dx ，dx dq λ= 2241xb dxdV +⋅=λπε∴V 103.4ln 22ln 242413220222220220⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⋅=⎰⎰-b b l l x b dx x b dxV l l l πελπελλπε8.30 两个同心球面，半径分别为10cm 和30cm ，小球均匀带有正电荷C 1018-⨯，大球均匀带有正电荷C 105.18-⨯。

求离球心分别为(1)20cm ，(2)50cm 的各点的电势。

解：易知，电势分布为(用叠加原理)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤⋅+⋅<⋅+⋅=)(41)(4141)(4141221021220101220110R r r q q R r R R qr q R r R q R q U πεπεπεπεπε ∴ (1) 21cm 20R r R <=<；V 900412210=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=R q r q U πε (2) r=50cm>R 2，V 45041210=+⋅=qr q q U πε8.32 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R 1=5.0cm ，R 2=20.0cm ，已知内球面的电势为V 601=V ，外球面的电势V 302-=V 。

(1) 求内、外球面上所带电量； (2) 在两个球面之间何处的电势为零？解：(1) 设内、外球面所带电荷分别为1q 、2q⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=221022211014141R q q V R q R q V πεπε∴ C 1067.6)(41012212101-⨯=-⋅-⋅=R R R R V V q πε9122021033.14-⨯-=-=q R V q πε C (2) 由0412210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R q r q U πε有 10221=⋅-=R q a r cm8.34 一无限长均匀带电圆柱，电荷体密度为ρ，截面半径为a 。

(1) 用高斯定律求出柱内外电场强度分布； (2) 求出柱内外的电势分布，以轴线为势能零点； (3) 画出r E -和r V -的函数曲线。

解： (1) 取半径r ，高h 的圆柱面，rh E ds E Sπ2⋅=⋅⎰→① r <a 时，h r q 2011πρωε⋅⋅=∑∴ r E 02ερ=② r ≥a ，h a q 20011πρεε⋅⋅=∑∴ ra E 202⋅=ερ (2) ① r ≤a 时，20042r dr r dl E U r l ερερ-=⋅=⋅=⎰⎰ ② r >a 时，)1ln 2(44ln 2220220020020+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅⊕+⋅=⎰⎰ar a a a r a rdrdr r a U a a rερερερερερ8.36 一个点电荷q 0在电偶极子(电矩为lP q =)的电场中，沿半径为R(R>>l )的半圆，从图8-50中的A 点移动到B 点，求该过程中的电场力所作的功。

解：电场力为保守力，由AB U q W 0=而 2200242241⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=l R l q l R q l R a V A πεπε A B V l R q l R a V -=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=22410πε ∴ 22000212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-==l R alq U q W AB πε 而l R >>∴ 2002R p q W πε-≈8.38 设想从无限远处依次将元电荷d q 移到一个原来不带电的半径为R 的球面上，使之最终电量为Q 。

求外力在移动该电荷过程中所做的功。

解：球面上的电势为Ra V ⋅=41πε 此时搬运dq 至球面上需做功：RqdqUdq dW ⋅==041πε ∴ RQ R qdq W Q 02084πεπε==⎰8.40 电子束焊接机中的电子枪如图8-51所示，K 为阴极，A 为阳极，其上有一小孔。

阴极发射的电子在阴极和阳极电场作用下聚集成一细束，以极高的速率穿过阳极上的小孔，射到被焊接的金属上，使两块金属熔化而焊接在一起。

已知，V 105.24⨯=-K A V V ，并设电子从阴极发射时的初速率为零。

求：(1) 电子到达被焊接的金属时具有的动能(用电子伏特表示)； (2) 电子射到金属上时的速率。