时滞系统的鲁棒稳定性分析X吴方向 周宗锡 史忠科 戴冠中(西北工业大学自动控制系・西安,710021)摘 要 研究时滞系统的时滞独立稳定性和时滞相关稳定性问题。
基于Bar balet 引理,得到了一类检验线性时滞系统稳定性的简单条件。
进一步研究了一类含非线性不确定性时滞系统的鲁棒稳定性问题。
数值例子表明,所得到的结果比已有结果的保守性小。
关键词 时滞系统,时滞独立稳定性,时滞相关稳定性,鲁棒稳定性分类号 O 1751 引 言 近年来,关于时滞系统的稳定性问题,经过许多学者的努力已取得了丰硕的成果[1—8]。
根据所研究的稳定性是否与时滞大小有关,可以分为时滞独立稳定性问题[1—4]和时滞相关稳定性问题[5—8]。
在这些研究中,一类是追求时滞独立稳定的充分必要条件,或者保证时滞相关稳定的最大滞后的精确估计,这导致了应用时计算复杂性等许多困难;另一类是寻求简单的充分条件,这又导致了一定的保守性。
本文从工程实用的角度出发,给出了一类简单的检验时滞系统稳定性的判据,并进一步研究了一类含非线性不确定性时滞系统的鲁棒稳定性。
同已有的一些结果相比,本文得到的结果保守性较小。
2 时滞独立稳定性分析 在本文的推导中,需要下列Barbalet 引理:引理1(Barbalet 引理)[9] 如果可导函数f (t )当t →+∞时有一个有限的极限值,而且f (t )的导数f a 是一致连续的,则当t →+∞时f a →0。
考虑下述线性多变量时滞系统x a (t )=A x (t )+A 1x (t -S ), t ≥t 0x (t )=U (t ), t 0-S ≤t ≤t 0(1)这里,x ∈R n 为状态向量,A ,A 1∈R n ×n 为状态矩阵,S >0为时间滞后,U (t )(t 0-S ≤t ≤t 0)为初始条件,它绝对可积。
对于系统(1)的状态,由文献[10]有d +ûx (t )û/d t ≤L (A )ûx (t )û+‖A 1‖ûx (t -S )û(2)这里,ûõû和‖õ‖分别为向量范数和与之相容的矩阵范数,L (A )为在矩阵范数‖õ‖下A的测度。
对不等式约束方程(2)两边从t 0到t (t ≥t 0)积分,得第14卷 增刊V ol.14 Suppl. 控 制 与 决 策CON T ROL A N D D ECI SI ON 1999年11月 N o v.1999X 国家自然科学基金(69774010)和西北工业大学“双新”计划基金资助课题 1999-04-17收稿,1999-06-09修回ûx (t )û-ûx (t 0)û≤∫tt[L (A )ûx (s )û+‖A 1‖ûx (s -S )û]d s , P t ≥t 0(3)由于∫t tûx (s -S )ûd s =∫t -St 0-S ûx (s )ûd s ≤∫t0t 0-SûU (s )ûd s +∫t tûx (s )ûd s (4)将式(4)代入式(3)得ûx (t )û+∫tt-[L (A )+‖A 1‖]ûx (s )ûd s ≤∫t0t 0-S‖A 1‖ûU (s )ûd s +ûx (t 0)û=M 1, P t ≥t 0(5)显然,常数M 1>0。
因此有如下结论:定理1 系统(1)是时滞独立稳定的,如果L (A )+‖A 1‖<0(6) 证明 如果式(6)成立,则由式(5)有ûx (t )û≤M 1, ∫tt 0ûx (s )ûd s ≤-M 1/[L (A )+‖A 1‖]>0, P t ≥t 0即可导函数∫t tûx (s )ûd s 当t →+∞时有一个有限的极限值,而且∫t tûx (s )ûd s 的导数ûx (s )û是一致连续有界的。
因此由引理1,当t →+∞时ûx (s )û→0,即系统(1)是时滞独立稳定的。
例1 考虑下述方程描述的系统[3]x a (t )=-400-3x (t )+a1102x (t -S )这里a 是一个不确定参数。
试确定a 的范围,使该系统是时滞独立稳定的。
Hmamed 利用[1]和[2]的结果得到,当ûa û< 1.3110时该系统是时滞独立稳定的;而利用[3]的结果得到,当ûa û< 1.3592时该系统是时滞独立稳定的。
我们应用定理1来研究这一问题。
取矩阵的范数为行范数(或称为∞-范数),则计算得L (A )=-3,‖A 1‖∞=2a 。
因此由定理1,当ûa û< 1.5时该系统是时滞独立稳定的。
通过比较可知,如能灵活运用矩阵的范数,则本文的结果保守性较小。
事实上,本节得到的结果是使该系统时滞独立稳定的a 的最大界,因为当a ≥1.5时,A +A 1不是渐近稳定的,由文献[4]知,该系统不是时滞独立渐近稳定的。
3 时滞相关稳定性分析 对于(1)的状态,由文献[10]还可得到d +ûx (t )ûd t≤L (A +A 1)ûx (t )û+‖A 1A ‖∫tt -Sûx (s )ûd s +‖A 21‖∫tt -Sûx (s -S )ûd s(7)对不等式约束方程(7)两边从t 0到t (t ≥t 0)积分,得ûx (t )û-ûx (t 0)û≤∫t tL (A +A 1)ûx (s )ûd s +‖A 1A ‖∫t t∫ss -Sûx (u )ûd u d s +‖A 21‖∫t t∫ss -Sûx (u -S )ûd u d s , P t ≥t(8)第14卷 增刊吴方向等:时滞系统的鲁棒稳定性分析507进一步,通过交换积分次序,并利用式(4)则有∫t t 0∫s s -S ûx (u )ûd u d s ≤∫t t 0-S ∫s s -Sûx (u )ûd s d u =∫t 0t 0-SS ûU (s )ûd s +∫t tS ûx (s )ûd s (9)∫t t∫ss -S ûx (u -S )ûd u d s ≤∫t0t 0-S S ûU (s -S )ûd s +∫t0t 0-SS ûU (s )ûd s +∫t tS ûx (s )ûd s (10)将式(9)和(10)代入式(8),整理得ûx (t )û+∫tt-[L (A +A 1)+S (‖A A 1‖+‖A 21‖]ûx (s )ûd s ≤M 2P t ≥t 0这里M 2=∫t 0t-SS [‖A 21‖ûU (s -S )û+(‖A A 1‖+‖A 21‖)ûU (s )û]d s +ûx (t 0)û>0为常数。
再次利用引理1,我们有如下结论:定理2 系统(1)是时滞相关稳定的,如果L (A +A 1)<0,且S <C =-L (A +A 1)/[‖A 1A ‖+‖A 21‖](11)4 非线性时滞系统的鲁棒稳定性分析 本节考虑这样一类非线性时滞系统的鲁棒稳定性,即在系统中除时间滞后不确定之外,还有非线性摄动。
这种系统由如下方程描述x a (t )=A x (t )+A 1x (t -S )+$f (x (t ),x (t -S ),t ), t ≥t 0x (t )=U (t ), t 0-S ≤t ≤t 0(12)这里假设非线性不确定项满足û$f (x (t ),x (t -S ),t )û≤a ûx (t )û+a 1ûx (t -S )û(13)其中a 和a 1均为大于零的常数。
类似于前两节的讨论,可以得到在与矩阵范数‖õ‖相容的向量范数ûõû下,线性不确定时滞系统(12)的状态x (t )满足d +ûx (t )û/d t ≤[L (A )+a ]ûx (t )û+[‖A 1‖+a 1]ûx (t -S )û或者d +ûx (t )ûd t≤[L (A +A 1)+a +a 1]ûx (t )û+c∫t t -Sûx (s )ûd s +d ∫tt -Sûx (s -S )ûd s其中c =‖A A 1‖+a ‖A 1‖+a 1‖A ‖+aa 1,d =‖A 21‖+2a 1‖A 1‖+a 21因此有如下结论:定理3 系统(12)是时滞独立鲁棒稳定的,如果L (A )+a +‖A 1‖+a 1<0(14) 定理4 系统(12)是时滞相关鲁棒稳定的,如果L (A +A 1)<0,且(15)508控 制 与 决 策1999年 例2 考察线性不确定系统[5—8]x a (t )=(A +$A )x (t )+(A 1+$A 1)x (t -S )的鲁棒稳定性问题。
其中A =-200-1, $A =0.3cos t 000.2sin t A 1=-10-1-1, $A 1=0.2cos t 000.3sin t 在本例中,我们定义矩阵范数为‖M ‖=‖H M H -1‖1,P M ∈R n ×n 。
这里‖õ‖1为列范数(或称为1-范数),H =diag [1 E ],0<E <1。
在这个范数下,计算可得a =a 1=0.3,‖A ‖=2,‖A 1‖=1+E ,因此有L (A +A 1)=-2,c = 2.99+0.3E ,d = 1.69+ 2.6E +E 2。
将这些数据代入式(15),则有r =-L (A +A 1)+a +a 1c +d = 1.44.68+ 2.9E +E 2>0所以lim E →0+r =0.2991。