例题
例1 已知a, b, c, d , t Z , 且t |10a b, t |10c d . 求证 : t | ad bc.
证明 : ad bc c(10a b) a(10c d ) t 10a b, t 10c d t ad bc.
例2 设a, b是两个给定的非零整数, 且有整数x, y, 使得ax by 1.求证 : 若a | n, b | n, 则ab | n.
证明 : n n(ax by ) nax nby 又 ab | na, ab | nb ab n.
例3 已知a, b, c, d Z 且a c | ab cd . 求证 : a c | ad bc.
证明 : a c | (a c)(b d ), a c | ab cd (ad bc ) 又a c ab cd , a c ad bc.
(4) b | a, a bq, ac bcq, bc | ac(其中c是任意的非零整数); (5) b | a, a bq,| a || b || q |, a 0, q 0,| q | 1, b a ; (6) b | a, a bq, 由(5)知, 若a 0, 则 b a 与 a b 矛盾, a 0.
2证明 : a | 2n, a | 2kn, 而2kn (2k -1)n n an n, a | an n, 又a | an, a | n.
3证明 : mq np (mn pq) (m p)(n q), 又 m p|mn pq, m p|mq np.
挑战自我
• 在已知数列1，4，8，10，16，19，21， 25，30，43中，相邻若干个数之和Байду номын сангаас被11 整除的数组共有多少组？
初等数论
第一章 整除理论
第一节 数的整除性
定义
设a, b是整数, b 0, 如果存在整数c, 使得a bc成立, 则称b整除a, 记作b | a. 如果不存在整数c, 使得a bc成立, 则称b不整除a, 记作b a. |
性质
(1)a | b a | b; (2)a | b, b | c a | c; (3)b | ai (i 1, 2,, k ) b | a1 x1 a2 x2 ak xk (其中xi是任意的整数); (4)b | a bc | ac(其中c是任意的非零整数); (5)b | a, a 0 b a ; (6)b | a, a b a 0.
证明 : (1) a | b, b aq,b aq, a | b; (2) a | b, b | c, b q1a, c q2b, c q1q2 a, a | c; (3) b | ai (i 1, 2, , k ), ai qi b(i 1, 2, , k ), ai xi qi xi b(i 1, 2, , k ), a1 x1 a2 x2 ak xk b(q1 x1 q2 x2 qk xk ) b | a1 x1 a2 x2 ak xk (其中xi是任意的整数);
练习题
1证明: 若3| n且7 | n, 则21| n.
2 设a 2k -1, k Z , 若a | 2n, 则a | n.
3 证明: 若m - p | mn pq, 则m - p | mq np.
1证明 : 3 | n,可设n 3m, 由7 | n得, 7 | 3m, 而7 | 7m, 所以7 | (7m - 2 3m), 即7 | m, 21| 3m, 即21| n.